1. (PUC - SP) A cônica representada pela equação 3 x^{2}-4 y^{2}+8 y-16=0 é:
    a) parábola
    b) hipérbole
    c) elipse
    d) circunferência

Passo 1

O enunciado dá a equação da cônica
3x^{2}-4y^{2}+8y-16=0
e pergunta qual das alternativas é correta:
a) parábola
b) hipérbole
c) elipse
d) circunferência
Informações explícitas que extraí do enunciado:
  • A equação é uma cônica da forma quadrática geral em x e y.
  • Os termos quadráticos são 3x^{2} e -4y^{2}.
  • Há termo linear em y igual a 8y.
  • Não há termo em xy nem termo linear em x.
  • A constante é -16.

Passo 2

Como a pergunta é identificar o tipo de cônica, vou usar um critério prático e muito usado (vou explicar direitinho): para equações gerais da forma
Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0
definimos o discriminante
\Delta = B^{2}-4AC.
Interpretação do sinal de \Delta (é uma regra padrão; vou explicar por que serve):
  • Se \Delta>0, a cônica é uma hipérbole.
  • Se \Delta=0, a cônica é uma parábola.
  • Se \Delta<0, a cônica é uma elipse (e se além disso A=C e B=0 é uma circunferência).
Por que isso funciona (intuição curta e útil para a prova): os coeficientes A,B,C governam a parte quadrática da equação; o sinal de B^{2}-4AC determina se essa parte é de “sinal trocado” (hipérbole), “sinal único” (elipse/circunferência) ou “degenerada” em apenas um quadrado (parábola). Não precisa decorar mais do que isso para identificar rapidamente o tipo.

Passo 3

Identifico os coeficientes da equação dada comparando com a forma geral:
  • A=3 (coeficiente de x^{2}),
  • B=0 (coeficiente de xy, aqui ausente),
  • C=-4 (coeficiente de y^{2}),
  • D=0 (coeficiente de x, ausente),
  • E=8 (coeficiente de y),
  • F=-16 (constante).
Calculo o discriminante:
\Delta = B^{2}-4AC = 0^{2}-4\cdot 3\cdot(-4).
Fazendo as contas:
-4\cdot 3\cdot(-4) = -12\cdot(-4) = 48,
portanto
\Delta = 0 - (-48)=48.
Como \Delta = 48 > 0, pelo critério do passo anterior a cônica é uma hipérbole.

Passo 4

Para treinar a intuição e ver explicitamente a forma padrão (isso ajuda muito na prova para confirmar), vou completar quadrados no termo em y e reescrever a equação.
Começo com a equação original:
3x^{2}-4y^{2}+8y-16=0.
Agrupo os termos em y:
3x^{2} + \bigl(-4y^{2}+8y\bigr) -16 = 0.
Fatorando -4 dos termos em y:
3x^{2} -4\bigl(y^{2}-2y\bigr) -16 = 0.
Agora completo o quadrado dentro do parêntese: y^{2}-2y = (y-1)^{2}-1. Substituo:
3x^{2} -4\bigl((y-1)^{2}-1\bigr) -16 = 0.
Distribuo o -4:
3x^{2} -4(y-1)^{2} +4 -16 = 0.
Simplifico 4-16=-12:
3x^{2} -4(y-1)^{2} -12 = 0.
Isolo os termos quadráticos:
3x^{2} -4(y-1)^{2} = 12.
Divido ambos os lados por 12 para obter forma padrão:
\frac{3x^{2}}{12} - \frac{4(y-1)^{2}}{12} = 1.
Simplificando as frações:
\frac{x^{2}}{4} - \frac{(y-1)^{2}}{3} = 1.

Passo 5

A equação
\frac{x^{2}}{4} - \frac{(y-1)^{2}}{3} = 1
é a forma padrão de uma hipérbole com centro em (0,1), eixo transverso ao longo de x (pois o termo positivo é \frac{x^{2}}{4}). Isso confirma o resultado do discriminante: é uma hipérbole.
Também explico por que não é cada uma das outras opções:
  • Não é parábola porque \Delta\neq 0.
  • Não é elipse porque \Delta>0 (para elipse precisaríamos de \Delta<0 e sinais iguais nos quadrados).
  • Não é circunferência porque os coeficientes dos quadrados não são iguais ( A\neq C).
Vai dar tudo certo na prova — você já tem a identificação correta e uma forma padrão para confirmar.

Resposta

b) hipérbole

Exercícios relacionados