- (PUC - SP) A cônica representada pela equação
é:
a) parábola
b) hipérbole
c) elipse
d) circunferência
a) parábola
b) hipérbole
c) elipse
d) circunferência
Passo 1
O enunciado dá a equação da cônica
e pergunta qual das alternativas é correta:
a) parábola
b) hipérbole
c) elipse
d) circunferência
a) parábola
b) hipérbole
c) elipse
d) circunferência
Informações explícitas que extraí do enunciado:
- A equação é uma cônica da forma quadrática geral em
e . - Os termos quadráticos são
e . - Há termo linear em
igual a . - Não há termo em
nem termo linear em . - A constante é
.
Passo 2
Como a pergunta é identificar o tipo de cônica, vou usar um critério prático e muito usado (vou explicar direitinho): para equações gerais da forma
definimos o discriminante
Interpretação do sinal de
(é uma regra padrão; vou explicar por que serve):
- Se
, a cônica é uma hipérbole. - Se
, a cônica é uma parábola. - Se
, a cônica é uma elipse (e se além disso e é uma circunferência).
Por que isso funciona (intuição curta e útil para a prova): os coeficientes
governam a parte quadrática da equação; o sinal de
determina se essa parte é de “sinal trocado” (hipérbole), “sinal único” (elipse/circunferência) ou “degenerada” em apenas um quadrado (parábola). Não precisa decorar mais do que isso para identificar rapidamente o tipo.
Passo 3
Identifico os coeficientes da equação dada comparando com a forma geral:
-
(coeficiente de ), -
(coeficiente de , aqui ausente), -
(coeficiente de ), -
(coeficiente de , ausente), -
(coeficiente de ), -
(constante).
Calculo o discriminante:
Fazendo as contas:
portanto
Como
, pelo critério do passo anterior a cônica é uma hipérbole.
Passo 4
Para treinar a intuição e ver explicitamente a forma padrão (isso ajuda muito na prova para confirmar), vou completar quadrados no termo em
e reescrever a equação.
Começo com a equação original:
Agrupo os termos em
:
Fatorando
dos termos em
:
Agora completo o quadrado dentro do parêntese:
. Substituo:
Distribuo o
:
Simplifico
:
Isolo os termos quadráticos:
Divido ambos os lados por
para obter forma padrão:
Simplificando as frações:
Passo 5
A equação
é a forma padrão de uma hipérbole com centro em
, eixo transverso ao longo de
(pois o termo positivo é
). Isso confirma o resultado do discriminante: é uma hipérbole.
Também explico por que não é cada uma das outras opções:
- Não é parábola porque
. - Não é elipse porque
(para elipse precisaríamos de e sinais iguais nos quadrados). - Não é circunferência porque os coeficientes dos quadrados não são iguais (
).
Vai dar tudo certo na prova — você já tem a identificação correta e uma forma padrão para confirmar.
Resposta
b) hipérbole