- (Vunesp - adaptado) Determine a distância do vértice da parábola
à reta
.
Passo 1
O enunciado pede a distância do vértice da parábola
até a reta
.
Informações dadas:
- A parábola está definida por
. - A reta está dada por
.
O que precisamos encontrar:
- Primeiro o vértice da parábola (as coordenadas do ponto).
- Depois a distância desse ponto até a reta dada.
Passo 2
Vamos achar o vértice da parábola. Primeiro expandimos a expressão para colocar no formato padrão de uma quadrática.
A parábola é
Multiplicando os termos,
Aqui temos uma função quadrática no formato geral
onde, no nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Fórmula do vértice: para
, a coordenada
do vértice é
(Explicação rápida: pode-se obter isso completando o quadrado; o termo
é o ponto onde a parábola atinge o mínimo/máximo porque desloca o quadrado perfeito.)
Aplicando aqui:
Agora obtemos
substituindo
na função:
Logo, o vértice é o ponto
.
Passo 4
Agora vamos à distância de um ponto até uma reta. Primeiro escrevemos a reta no formato padrão
Da reta dada
passamos todos os termos para um lado:
Portanto
,
,
.
A fórmula da distância do ponto
até a reta
é
(Explicação intuitiva:
é um vetor normal à reta; o numerador é o valor absoluto do “produto” desse normal com o vetor posição do ponto mais o termo constante; dividir pelo comprimento do normal dá a projeção — a distância perpendicular.)
Passo 5
Aplicamos a fórmula com o ponto vértice
e
,
,
.
Calculamos o numerador:
Passo a passo:
Tomando o valor absoluto (já positivo),
Passo 6
Calculamos o denominador:
Passo 7
Portanto a distância é
Se preferir em decimal,
.
Calma — deu um número meio grande, mas a conta foi só substituição e uma raiz simples. Você conseguiu!