1. (Vunesp - adaptado) Determine a distância do vértice da parábola y=(x-2)(x-6) à reta 3 y= 4 x+15.

Passo 1

O enunciado pede a distância do vértice da parábola y=(x-2)(x-6) até a reta 3y=4x+15.
Informações dadas:
  • A parábola está definida por y=(x-2)(x-6).
  • A reta está dada por 3y=4x+15.
O que precisamos encontrar:
  • Primeiro o vértice da parábola (as coordenadas do ponto).
  • Depois a distância desse ponto até a reta dada.

Passo 2

Vamos achar o vértice da parábola. Primeiro expandimos a expressão para colocar no formato padrão de uma quadrática.
A parábola é
y=(x-2)(x-6).
Multiplicando os termos,
y = x^2 -6x -2x +12 = x^2 -8x +12.
Aqui temos uma função quadrática no formato geral
y = ax^2 + bx + c,
onde, no nosso caso, a=1, b=-8 e c=12.

Passo 3

Fórmula do vértice: para y = ax^2 + bx + c, a coordenada x do vértice é
x_v = -\frac{b}{2a}.
(Explicação rápida: pode-se obter isso completando o quadrado; o termo -\dfrac{b}{2a} é o ponto onde a parábola atinge o mínimo/máximo porque desloca o quadrado perfeito.)
Aplicando aqui:
x_v = -\frac{-8}{2\cdot 1} = \frac{8}{2} = 4.
Agora obtemos y_v substituindo x=4 na função:
y_v = (4)^2 -8\cdot 4 +12 = 16 -32 +12 = -4.
Logo, o vértice é o ponto (4,-4).

Passo 4

Agora vamos à distância de um ponto até uma reta. Primeiro escrevemos a reta no formato padrão
Ax + By + C = 0.
Da reta dada 3y = 4x + 15 passamos todos os termos para um lado:
4x - 3y + 15 = 0.
Portanto A=4, B=-3, C=15.
A fórmula da distância do ponto (x_0,y_0) até a reta Ax+By+C=0 é
\text{dist} = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.
(Explicação intuitiva: (A,B) é um vetor normal à reta; o numerador é o valor absoluto do “produto” desse normal com o vetor posição do ponto mais o termo constante; dividir pelo comprimento do normal dá a projeção — a distância perpendicular.)

Passo 5

Aplicamos a fórmula com o ponto vértice (x_0,y_0) = (4,-4) e A=4, B=-3, C=15.
Calculamos o numerador:
A x_0 + B y_0 + C = 4\cdot 4 + (-3)\cdot(-4) + 15.
Passo a passo:
4\cdot 4 = 16,
(-3)\cdot(-4) = 12,
16 + 12 + 15 = 43.
Tomando o valor absoluto (já positivo),
|A x_0 + B y_0 + C| = 43.

Passo 6

Calculamos o denominador:
\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5.

Passo 7

Portanto a distância é
\text{dist} = \frac{43}{5}.
Se preferir em decimal, \frac{43}{5}=8{,}6.
Calma — deu um número meio grande, mas a conta foi só substituição e uma raiz simples. Você conseguiu!

Resposta

\dfrac{43}{5}

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