Estabelecer as equações vetoriais, paramétricas, simétricas e reduzidas das retas nos seguintes casos:
a)determinada pelo ponto \mathrm{A}(1,-2,1) e pelo vetor \overrightarrow{\mathrm{v}}=(3,1,4);
b)determinada pelos pontos \mathrm{A}(2,-1,3) e \mathrm{B}(3,0,-2);
c)possui o ponto \mathrm{A}(1,-2,3) e é paralela à reta definida pelo ponto \mathrm{B}(2,0,1) e pelo vetor diretor \overrightarrow{\mathrm{v}}=(2,- 2,3);
d)possui o ponto M(1,5,-2) e é paralela à reta determinada pelos pontos A(5,-2,3) e B(- 1,-4,3);
e)possui o ponto A(2,1,0) e é paralela à reta de equação r: \frac{x+2}{-5}=\frac{y+4}{3}=\frac{z-1}{2};
f)possui o ponto A(-6,7,9) e é paralela ao vetor \vec{v}=(-2,0,-2);
g)possui o ponto \mathrm{A}(0,0,4) e é paralela ao vetor \overrightarrow{\mathrm{v}}=(8,3,0);
h)possui o ponto \mathrm{A}(2,-2,1) e é paralela ao eixo OX ;
i)possui o ponto \mathrm{A}(8,0,-11) e é paralela ao eixo OZ .

Passo 1

O enunciado pede que, para cada caso (a) a (i), eu estabeleça as equações da reta nas formas vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida.
Dados fornecidos (copiando do enunciado):
a) ponto \mathrm{A}\bigl(1,-2,1\bigr) e vetor diretor \overrightarrow{\mathrm{v}}=(3,1,4).
b) pontos \mathrm{A}\bigl(2,-1,3\bigr) e \mathrm{B}\bigl(3,0,-2\bigr).
c) reta passa por \mathrm{A}\bigl(1,-2,3\bigr) e é paralela à reta definida por \mathrm{B}\bigl(2,0,1\bigr) e \overrightarrow{\mathrm{v}}=(2,-2,3).
d) reta passa por M\bigl(1,5,-2\bigr) e é paralela à reta determinada por A\bigl(5,-2,3\bigr) e B\bigl(-1,-4,3\bigr).
e) reta passa por A\bigl(2,1,0\bigr) e é paralela à reta de equação r:\dfrac{x+2}{-5}=\dfrac{y+4}{3}=\dfrac{z-1}{2}.
f) reta passa por A\bigl(-6,7,9\bigr) e é paralela ao vetor \vec{v}=(-2,0,-2).
g) reta passa por \mathrm{A}\bigl(0,0,4\bigr) e é paralela ao vetor \overrightarrow{\mathrm{v}}=(8,3,0).
h) reta passa por \mathrm{A}\bigl(2,-2,1\bigr) e é paralela ao eixo OX.
i) reta passa por \mathrm{A}\bigl(8,0,-11\bigr) e é paralela ao eixo OZ.

Passo 2

Antes de resolver cada caso, vamos lembrar e entender (passo a passo, devagarinho) as formas que a reta pode ter em [\mathbb{R}^3).
  1. Equação vetorial da reta: se a reta passa por um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) e tem vetor diretor \vec{v}=(a,b,c), então a equação vetorial é
\vec{r}=\vec{r_0}+t\vec{v},
onde \vec{r}=(x,y,z) é o vetor posição genérico, \vec{r_0}=(x_0,y_0,z_0) é o vetor posição do ponto base, \vec{v}=(a,b,c) é o vetor diretor e t\in\mathbb{R} é o parâmetro. Isso significa: começamos em P_0 e andamos t vezes na direção \vec{v}.
  1. Equações paramétricas: a equação vetorial é equivalente ao sistema
\begin{cases} x = x_0 + a t,\\[4pt] y = y_0 + b t,\\[4pt] z = z_0 + c t. \end{cases}
Aqui cada coordenada é escrita em função do parâmetro (t].
  1. Equação simétrica (ou contínua): se a, b, c são todos diferentes de zero, podemos eliminar t e escrever
\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}.
Isto é prático para ver a “proporção” entre os incrementos. Atenção: se algum dos componentes do vetor diretor for zero, não se pode dividir por ele — nesse caso a correspondente coordenada é constante e a equação simétrica deve ser adaptada (ver exemplos abaixo).
  1. Equação reduzida (uma forma útil para provas): é equivalente a escrever explicitamente o parâmetro em termos de cada coordenada, por exemplo
t=\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c},
ou, quando algum componente é zero, escrevemos as igualdades apenas entre as frações válidas e colocamos as coordenadas constantes explicitamente. Em muitas notações “simétrica” e “reduzida” são sinônimas; aqui vou apresentar a simétrica como a igualdade de frações e a reduzida como a escrita com t= cada fração — isso deixa claro como recuperar t.
Observação prática sobre componentes zero: se, por exemplo, c=0, então da paramétrica vem z=z_0 e a parte simétrica fica apenas
\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b},\qquad z=z_0.
Guarde isso — vou aplicar sempre que necessário.
Agora vamos aplicar isso a cada item, calculando o vetor diretor quando preciso, cuidando dos zeros e escrevendo as quatro formas pedidas.]

Passo 3

a) Dados: [A\bigl(1,-2,1\bigr)) e \overrightarrow{\mathrm{v}}=(3,1,4).
  • Equação vetorial: usei \vec{r_0}=(1,-2,1) e \vec{v}=(3,1,4), assim
\vec{r}=(1,-2,1)+t(3,1,4).
  • Equações paramétricas: extraindo coordenadas,
\begin{cases} x=1+3t,\\[4pt] y=-2+1\cdot t,\\[4pt] z=1+4t. \end{cases}
  • Equação simétrica: todos os componentes do vetor diretor são não nulos, então
\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{4}.
  • Equação reduzida: escrevendo (t] em função das coordenadas,
    t=\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{4}.]

Passo 4

b) Dados: A\bigl(2,-1,3\bigr) e B\bigl(3,0,-2\bigr).
Primeiro calculei o vetor diretor subtraindo coordenadas: \vec{v}= \overrightarrow{AB}=B-A=(3-2,\;0-(-1),\;-2-3)=(1,1,-5).
  • Equação vetorial:
\vec{r}=(2,-1,3)+t(1,1,-5).
  • Paramétricas:
\begin{cases} x=2+t,\\[4pt] y=-1+t,\\[4pt] z=3-5t. \end{cases}
  • Simétrica:
\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{-5}.
  • Reduzida:
t=\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{-5}.]

Passo 5

c) Dados: reta passa por A\bigl(1,-2,3\bigr) e é paralela à reta dada por B\bigl(2,0,1\bigr) com vetor diretor \overrightarrow{\mathrm{v}}=(2,-2,3). Como a reta que queremos é paralela, usa-se o mesmo vetor diretor (2,-2,3).
  • Vetorial:
\vec{r}=(1,-2,3)+t(2,-2,3).
  • Paramétricas:
\begin{cases} x=1+2t,\\[4pt] y=-2-2t,\\[4pt] z=3+3t. \end{cases}
  • Simétrica:
\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-3}{3}.
  • Reduzida:
t=\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-3}{3}.]

Passo 6

d) Dados: passa por [M\bigl(1,5,-2\bigr)) e é paralela à reta por A\bigl(5,-2,3\bigr) e B\bigl(-1,-4,3\bigr).
Primeiro calculei o vetor diretor da reta AB: \vec{v}=B-A=(-1-5,\;-4-(-2),\;3-3)=(-6,-2,0). Note que o componente z do vetor diretor é zero, então a coordenada z será constante na reta paralela.
  • Vetorial:
\vec{r}=(1,5,-2)+t(-6,-2,0).
  • Paramétricas:
\begin{cases} x=1-6t,\\[4pt] y=5-2t,\\[4pt] z=-2. \end{cases}
  • Simétrica: como c=0\] (componente \(z do vetor diretor), escrevemos apenas as frações para x e y e colocamos z constante:
\frac{x-1}{-6}=\frac{y-5}{-2},\qquad z=-2.
  • Reduzida: escrevendo t,
t=\frac{x-1}{-6}=\frac{y-5}{-2},\qquad z=-2.]

Passo 7

e) Dados: passa por A\bigl(2,1,0\bigr) e é paralela à reta r:\dfrac{x+2}{-5}=\dfrac{y+4}{3}=\dfrac{z-1}{2}.
Da equação de r identifico o vetor diretor \vec{v}=(-5,3,2).
  • Vetorial:
\vec{r}=(2,1,0)+t(-5,3,2).
  • Paramétricas:
\begin{cases} x=2-5t,\\[4pt] y=1+3t,\\[4pt] z=0+2t. \end{cases}
  • Simétrica:
\frac{x-2}{-5}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-0}{2}.
  • Reduzida:
t=\frac{x-2}{-5}=\frac{y-1}{3}=\frac{z}{2}.]

Passo 8

f) Dados: passa por [A\bigl(-6,7,9\bigr)) e é paralela ao vetor \vec{v}=(-2,0,-2).
Aqui b=0 (componente y do vetor diretor), então y será constante.
  • Vetorial:
\vec{r}=(-6,7,9)+t(-2,0,-2).
  • Paramétricas:
\begin{cases} x=-6-2t,\\[4pt] y=7,\\[4pt] z=9-2t. \end{cases}
  • Simétrica: como (b=0],
    \frac{x+6}{-2}=\frac{z-9}{-2},\qquad y=7.
  • Reduzida:
t=\frac{x+6}{-2}=\frac{z-9}{-2},\qquad y=7.]

Passo 9

g) Dados: passa por A\bigl(0,0,4\bigr) e é paralela a \overrightarrow{\mathrm{v}}=(8,3,0).
Aqui o componente em z do vetor diretor é 0, então z é constante.
  • Vetorial:
\vec{r}=(0,0,4)+t(8,3,0).
  • Paramétricas:
\begin{cases} x=8t,\\[4pt] y=3t,\\[4pt] z=4. \end{cases}
  • Simétrica:
\frac{x-0}{8}=\frac{y-0}{3},\qquad z=4.
  • Reduzida:
t=\frac{x}{8}=\frac{y}{3},\qquad z=4.]

Passo 10

h) Dados: passa por [A\bigl(2,-2,1\bigr)) e é paralela ao eixo OX. O vetor diretor do eixo OX é (1,0,0).
  • Vetorial:
\vec{r}=(2,-2,1)+t(1,0,0).
  • Paramétricas:
\begin{cases} x=2+t,\\[4pt] y=-2,\\[4pt] z=1. \end{cases}
  • Simétrica: como (b=c=0],
    \frac{x-2}{1} \quad\text{(ou simplesmente }x-2\text{ varia livremente)},\qquad y=-2,\\ z=1.
    Mais convencionalmente escrevemos
    x-2=t,\qquad y=-2,\qquad z=1,
    ou
    \frac{x-2}{1}=\text{(parâmetro livre)},\qquad y=-2,\\ z=1.â
  • Reduzida:
t=x-2,\qquad y=-2,\qquad z=1.]

Passo 11

i) Dados: passa por [A\bigl(8,0,-11\bigr)) e é paralela ao eixo OZ. O vetor diretor do eixo OZ é (0,0,1).
  • Vetorial:
\vec{r}=(8,0,-11)+t(0,0,1).
  • Paramétricas:
\begin{cases} x=8,\\[4pt] y=0,\\[4pt] z=-11+t. \end{cases}
  • Simétrica: como (a=b=0],
    x=8,\qquad y=0,\qquad \frac{z+11}{1}=\text{(parâmetro)}.â
  • Reduzida:
t=z+11,\qquad x=8,\qquad y=0.]

Resposta

(a) \displaystyle \vec{r}=(1,-2,1)+t(3,1,4);\quad x=1+3t,\\ y=-2+t,\\ z=1+4t;\quad \dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-1}{4};\quad t=\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-1}{4}.
(b) \displaystyle \vec{r}=(2,-1,3)+t(1,1,-5);\quad x=2+t,\\ y=-1+t,\\ z=3-5t;\quad \dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-3}{-5};\quad t=\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-3}{-5}.
(c) \displaystyle \vec{r}=(1,-2,3)+t(2,-2,3);\quad x=1+2t,\\ y=-2-2t,\\ z=3+3t;\quad \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{-2}=\dfrac{z-3}{3};\quad t=\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{-2}=\dfrac{z-3}{3}.
(d) \displaystyle \vec{r}=(1,5,-2)+t(-6,-2,0);\quad x=1-6t,\\ y=5-2t,\\ z=-2;\quad \dfrac{x-1}{-6}=\dfrac{y-5}{-2},\\ z=-2;\quad t=\dfrac{x-1}{-6}=\dfrac{y-5}{-2},\\ z=-2.
(e) \displaystyle \vec{r}=(2,1,0)+t(-5,3,2);\quad x=2-5t,\\ y=1+3t,\\ z=2t;\quad \dfrac{x-2}{-5}=\dfrac{y-1}{3}=\dfrac{z}{2};\quad t=\dfrac{x-2}{-5}=\dfrac{y-1}{3}=\dfrac{z}{2}.
(f) \displaystyle \vec{r}=(-6,7,9)+t(-2,0,-2);\quad x=-6-2t,\\ y=7,\\ z=9-2t;\quad \dfrac{x+6}{-2}=\dfrac{z-9}{-2},\\ y=7;\quad t=\dfrac{x+6}{-2}=\dfrac{z-9}{-2},\\ y=7.
(g) \displaystyle \vec{r}=(0,0,4)+t(8,3,0);\quad x=8t,\\ y=3t,\\ z=4;\quad \dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{3},\\ z=4;\quad t=\dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{3},\\ z=4.
(h) \displaystyle \vec{r}=(2,-2,1)+t(1,0,0);\quad x=2+t,\\ y=-2,\\ z=1;\quad x-2\\ \text{livre},\\ y=-2,\\ z=1;\quad t=x-2,\\ y=-2,\\ z=1.
(i) \displaystyle \vec{r}=(8,0,-11)+t(0,0,1);\quad x=8,\\ y=0,\\ z=-11+t;\quad x=8,\\ y=0,\\ \dfrac{z+11}{1}\\ \text{livre};\quad t=z+11,\\ x=8,\\ y=0.

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