Estabelecer as equações vetoriais, paramétricas, simétricas e reduzidas das retas nos seguintes casos:
a)determinada pelo ponto \mathrm{A}(1,-2,1) e pelo vetor \overrightarrow{\mathrm{v}}=(3,1,4);
b)determinada pelos pontos \mathrm{A}(2,-1,3) e \mathrm{B}(3,0,-2);
c)possui o ponto \mathrm{A}(1,-2,3) e é paralela à reta definida pelo ponto \mathrm{B}(2,0,1) e pelo vetor diretor \overrightarrow{\mathrm{v}}=(2,- 2,3);
d)possui o ponto M(1,5,-2) e é paralela à reta determinada pelos pontos A(5,-2,3) e B(- 1,-4,3);
e)possui o ponto A(2,1,0) e é paralela à reta de equação r: \frac{x+2}{-5}=\frac{y+4}{3}=\frac{z-1}{2};
f)possui o ponto A(-6,7,9) e é paralela ao vetor \vec{v}=(-2,0,-2);
g)possui o ponto \mathrm{A}(0,0,4) e é paralela ao vetor \overrightarrow{\mathrm{v}}=(8,3,0);
h)possui o ponto \mathrm{A}(2,-2,1) e é paralela ao eixo OX ;
i)possui o ponto \mathrm{A}(8,0,-11) e é paralela ao eixo OZ .
Passo 1
O enunciado pede que, para cada caso (a) a (i), eu estabeleça as equações da reta nas formas vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida.
Dados fornecidos (copiando do enunciado):
a) ponto \mathrm{A}\bigl(1,-2,1\bigr) e vetor diretor \overrightarrow{\mathrm{v}}=(3,1,4).
b) pontos \mathrm{A}\bigl(2,-1,3\bigr) e \mathrm{B}\bigl(3,0,-2\bigr).
c) reta passa por \mathrm{A}\bigl(1,-2,3\bigr) e é paralela à reta definida por \mathrm{B}\bigl(2,0,1\bigr) e \overrightarrow{\mathrm{v}}=(2,-2,3).
d) reta passa por M\bigl(1,5,-2\bigr) e é paralela à reta determinada por A\bigl(5,-2,3\bigr) e B\bigl(-1,-4,3\bigr).
e) reta passa por A\bigl(2,1,0\bigr) e é paralela à reta de equação r:\dfrac{x+2}{-5}=\dfrac{y+4}{3}=\dfrac{z-1}{2}.
f) reta passa por A\bigl(-6,7,9\bigr) e é paralela ao vetor \vec{v}=(-2,0,-2).
g) reta passa por \mathrm{A}\bigl(0,0,4\bigr) e é paralela ao vetor \overrightarrow{\mathrm{v}}=(8,3,0).
h) reta passa por \mathrm{A}\bigl(2,-2,1\bigr) e é paralela ao eixo OX.
i) reta passa por \mathrm{A}\bigl(8,0,-11\bigr) e é paralela ao eixo OZ.
Passo 2
Antes de resolver cada caso, vamos lembrar e entender (passo a passo, devagarinho) as formas que a reta pode ter em [\mathbb{R}^3).
Equação vetorial da reta: se a reta passa por um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) e tem vetor diretor \vec{v}=(a,b,c), então a equação vetorial é
\vec{r}=\vec{r_0}+t\vec{v},
onde \vec{r}=(x,y,z) é o vetor posição genérico, \vec{r_0}=(x_0,y_0,z_0) é o vetor posição do ponto base, \vec{v}=(a,b,c) é o vetor diretor e t\in\mathbb{R} é o parâmetro. Isso significa: começamos em P_0 e andamos t vezes na direção \vec{v}.
Equações paramétricas: a equação vetorial é equivalente ao sistema
\begin{cases} x = x_0 + a t,\\[4pt] y = y_0 + b t,\\[4pt] z = z_0 + c t. \end{cases}
Aqui cada coordenada é escrita em função do parâmetro (t].
Equação simétrica (ou contínua): se a, b, c são todos diferentes de zero, podemos eliminar t e escrever
\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}.
Isto é prático para ver a “proporção” entre os incrementos. Atenção: se algum dos componentes do vetor diretor for zero, não se pode dividir por ele — nesse caso a correspondente coordenada é constante e a equação simétrica deve ser adaptada (ver exemplos abaixo).
Equação reduzida (uma forma útil para provas): é equivalente a escrever explicitamente o parâmetro em termos de cada coordenada, por exemplo
ou, quando algum componente é zero, escrevemos as igualdades apenas entre as frações válidas e colocamos as coordenadas constantes explicitamente. Em muitas notações “simétrica” e “reduzida” são sinônimas; aqui vou apresentar a simétrica como a igualdade de frações e a reduzida como a escrita com t= cada fração — isso deixa claro como recuperar t.
Observação prática sobre componentes zero: se, por exemplo, c=0, então da paramétrica vem z=z_0 e a parte simétrica fica apenas
\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b},\qquad z=z_0.
Guarde isso — vou aplicar sempre que necessário.
Agora vamos aplicar isso a cada item, calculando o vetor diretor quando preciso, cuidando dos zeros e escrevendo as quatro formas pedidas.]
Passo 3
a) Dados: [A\bigl(1,-2,1\bigr)) e \overrightarrow{\mathrm{v}}=(3,1,4).
Equação vetorial: usei \vec{r_0}=(1,-2,1) e \vec{v}=(3,1,4), assim
c) Dados: reta passa por A\bigl(1,-2,3\bigr) e é paralela à reta dada por B\bigl(2,0,1\bigr) com vetor diretor \overrightarrow{\mathrm{v}}=(2,-2,3). Como a reta que queremos é paralela, usa-se o mesmo vetor diretor (2,-2,3).
d) Dados: passa por [M\bigl(1,5,-2\bigr)) e é paralela à reta por A\bigl(5,-2,3\bigr) e B\bigl(-1,-4,3\bigr).
Primeiro calculei o vetor diretor da reta AB: \vec{v}=B-A=(-1-5,\;-4-(-2),\;3-3)=(-6,-2,0). Note que o componente z do vetor diretor é zero, então a coordenada z será constante na reta paralela.