(Pucrj) Um ciclista tentando bater um recorde de velocidade em uma bicicleta desce, a partir do repouso, a distância de 1440 m em uma montanha cuja inclinação é de 30^{\circ}. Calcule a velocidade atingida pelo ciclista ao chegar à base da montanha.
Dados: Não há atrito e \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
a) 84 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
b) 120 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
c) 144 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
d) 157 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede (peguei todos os dados do enunciado):
  • Distância percorrida ao descer a rampa: s=1440\\ \mathrm{m}.
  • Inclinação da rampa: \theta=30^\circ.
  • Parte inicial: repouso, ou seja v_0=0.
  • Não há atrito.
  • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Pergunta: qual a velocidade v do ciclista ao chegar à base da montanha?
  • Alternativas:
    a) 84\\ \mathrm{m/s}
    b) 120\\ \mathrm{m/s}
    c) 144\\ \mathrm{m/s}
    d) 157\\ \mathrm{m/s}

Passo 2

Escolha do método e explicação das ideias usadas (motivação didática).
  • Como não há atrito, a energia mecânica (energia potencial + energia cinética) do sistema é conservada durante a descida. Isso significa que a perda de energia potencial gravitacional transforma-se em energia cinética. Essa é uma abordagem simples e direta.
  • Fórmulas importantes:
    • Energia potencial gravitacional: \displaystyle U = m g h, onde m é a massa do ciclista+bicicleta, g é a aceleração da gravidade e h é a altura vertical perdida.
    • Energia cinética: \displaystyle K = \tfrac{1}{2} m v^2, onde v é a velocidade final buscada.
    • Conservação da energia mecânica (sem atrito): \displaystyle m g h = \tfrac{1}{2} m v^2.
  • Observação: a massa m aparece em ambos os lados e vai se cancelar — não precisamos saber m.
  • Alternativa (equivalente): também poderia usar cinemática com aceleração constante ao longo da rampa a = g\sin\theta e a relação \displaystyle v^2 = v_0^2 + 2 a s. Vou mostrar as duas formas para fixar a ideia.

Passo 3

Calcular a altura vertical h perdida ao descer a distância s ao longo da rampa inclinada.
  • A relação entre deslocamento ao longo da rampa s, ângulo \theta e altura vertical h é h = s\sin\theta.
  • Como \sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}, então
h = 1440\cdot\sin 30^\circ = 1440\cdot\frac{1}{2} = 720\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Aplicar a conservação de energia para encontrar v.
  • Equação da conservação:
m g h = \tfrac{1}{2} m v^2.
  • Cancela-se m dos dois lados e isola-se v:
g h = \tfrac{1}{2} v^2 \quad\Rightarrow\quad v^2 = 2 g h.
  • Substituindo g=10\\ \mathrm{m/s^2} e h=720\\ \mathrm{m}:
v^2 = 2\cdot 10\cdot 720 = 14400.
  • Portanto
v = \sqrt{14400}.
  • Cálculo da raiz quadrada: 14400 = 144\cdot 100, \sqrt{144}=12 e \sqrt{100}=10, logo
v = 12\cdot 10 = 120\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Verificação alternativa usando cinemática (confirmação e reforço didático).
  • A componente da aceleração ao longo da rampa é a = g\sin\theta. Com \sin 30^\circ=\tfrac{1}{2}:
a = 10\cdot\frac{1}{2}=5\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Usando \displaystyle v^2 = v_0^2 + 2 a s com v_0=0:
v^2 = 2\cdot a \cdot s = 2\cdot 5\cdot 1440 = 14400,
logo v=120\\ \mathrm{m/s}. Resultado idêntico, como esperado.

Passo 6

Comentário final motivador.
  • O resultado pode parecer grande (120 m/s é cerca de 432 km/h), mas matematicamente é o que as hipóteses do problema implicam (descida longa, sem atrito e g grande). Em provas, sempre cheque se enunciado permite desprezar perdas de energia; aqui foi explícito que não há atrito, então o cálculo está correto.

Resposta

b) 120\\ \mathrm{m/s}

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