(Pucrj) Um ciclista tentando bater um recorde de velocidade em uma bicicleta desce, a partir do repouso, a distância de 1440 m em uma montanha cuja inclinação é de
. Calcule a velocidade atingida pelo ciclista ao chegar à base da montanha.
Dados: Não há atrito e
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede (peguei todos os dados do enunciado):
- Distância percorrida ao descer a rampa:
. - Inclinação da rampa:
. - Parte inicial: repouso, ou seja
. - Não há atrito.
- Aceleração da gravidade:
. - Pergunta: qual a velocidade
do ciclista ao chegar à base da montanha? - Alternativas:
a)
b)
c)
d)
Passo 2
Escolha do método e explicação das ideias usadas (motivação didática).
- Como não há atrito, a energia mecânica (energia potencial + energia cinética) do sistema é conservada durante a descida. Isso significa que a perda de energia potencial gravitacional transforma-se em energia cinética. Essa é uma abordagem simples e direta.
- Fórmulas importantes:
- Energia potencial gravitacional:
, onde é a massa do ciclista+bicicleta, é a aceleração da gravidade e é a altura vertical perdida. - Energia cinética:
, onde é a velocidade final buscada. - Conservação da energia mecânica (sem atrito):
.
- Energia potencial gravitacional:
- Observação: a massa
aparece em ambos os lados e vai se cancelar — não precisamos saber . - Alternativa (equivalente): também poderia usar cinemática com aceleração constante ao longo da rampa
e a relação . Vou mostrar as duas formas para fixar a ideia.
Passo 3
Calcular a altura vertical
perdida ao descer a distância
ao longo da rampa inclinada.
- A relação entre deslocamento ao longo da rampa
, ângulo e altura vertical é . - Como
, então
Passo 4
Aplicar a conservação de energia para encontrar
.
- Equação da conservação:
- Cancela-se
dos dois lados e isola-se :
- Substituindo
e :
- Portanto
- Cálculo da raiz quadrada:
, e , logo
Passo 5
Verificação alternativa usando cinemática (confirmação e reforço didático).
- A componente da aceleração ao longo da rampa é
. Com :
- Usando
com :
logo
. Resultado idêntico, como esperado.
Passo 6
Comentário final motivador.
- O resultado pode parecer grande (120 m/s é cerca de 432 km/h), mas matematicamente é o que as hipóteses do problema implicam (descida longa, sem atrito e g grande). Em provas, sempre cheque se enunciado permite desprezar perdas de energia; aqui foi explícito que não há atrito, então o cálculo está correto.
Resposta
b)