37.15P Considere uma substância paramagnética cuja suscetibilidade magnética varia com a temperatura na forma
, onde
é uma constante. Uma porção, de massa
, desta substância é submetida a um campo magnético variável
, em um processo adiabático. Mostre que as variações em
e
estão ligadas pela relação
onde
é o calor específico da substância.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma relação entre variações de
e
:
- A suscetibilidade magnética da substância é
, onde é constante. - Uma porção da substância tem massa
e volume . - O processo é adiabático (ou seja, não há troca de calor:
). - O calor específico (por unidade de massa) é
(assume-se independente de para simplificar as integrais locais). - Precisa-se mostrar que as variações estão ligadas pela relação
Informações úteis extras (que usarei ao longo da resolução):
- Magnetização por unidade de volume:
. - Adiabático significa
. - Vou trabalhar com a entropia total da amostra
e usar uma relação de Maxwell que conecta com (mostro/justifico isso no passo seguinte).
Passo 2
Definir a magnetização e calcular sua derivada em relação a
(mantendo
fixo).
- A magnetização por volume é
- Diferenciando
em relação a com constante:
Explicação curta:
é tratado como constante nessa derivada porque o subíndice indica que é derivada parcial a
fixo; a regra do quociente dá o sinal negativo e o fator
.
Passo 3
Obter a expressão diferencial da entropia total
da amostra em presença de campo magnético e aplicar a condição adiabática.
- Para a amostra inteira, a variação infinitesimal de entropia pode ser escrita como soma da variação térmica e da variação devido ao campo:
- A primeira derivada térmica, à pressão/volume fixos, relaciona-se com o calor específico total: a capacidade térmica total da amostra é
, logo
Explicação: para um sistema sem trabalho de expansão relevante,
e
a partir da definição de entropia diferencial reversível.
Passo 4
Obter a relação de Maxwell que liga
a
e inserir na expressão de
.
- Considere a energia livre de Helmholtz
da amostra tratada como função de e . Para esse potencial vale (variando e ):
(Isto é uma forma padrão em termodinâmica magnética: a variação de
com
dá
e com
dá
.)
- Igualando derivadas mistas
resulta na relação de Maxwell
Explicação breve: deriva-se
e
; derivadas mistas iguais dão a relação acima.
Passo 5
Substituir a relação de Maxwell na expressão de
e usar a condição adiabática
.
- Substituindo em
:
- Como o processo é adiabático,
. Portanto
Passo 6
Inserir
calculado no Passo 2 e simplificar para chegar à relação pedida.
- Do Passo 2 temos
. Substituindo:
- Multiplicando toda a equação por
:
- Reorganizando:
- Agora observe que
e . Multiplicando ambos os lados por ou reescrevendo diretamente:
Isso é exatamente a relação requisitada.