37.15P Considere uma substância paramagnética cuja suscetibilidade magnética varia com a temperatura na forma \chi_{m}=C / T, onde C é uma constante. Uma porção, de massa m, desta substância é submetida a um campo magnético variável H, em um processo adiabático. Mostre que as variações em H e T estão ligadas pela relação
m c d\left(T^{2}\right)=V \mu_{o} C d\left(H^{2}\right),
onde c é o calor específico da substância.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma relação entre variações de H e T:
  • A suscetibilidade magnética da substância é \chi_{m} = C / T, onde C é constante.
  • Uma porção da substância tem massa m e volume V.
  • O processo é adiabático (ou seja, não há troca de calor: dS=0).
  • O calor específico (por unidade de massa) é c (assume-se independente de T para simplificar as integrais locais).
  • Precisa-se mostrar que as variações estão ligadas pela relação
m c\, d\!\left(T^{2}\right)=V \mu_{0} C\, d\!\left(H^{2}\right).
Informações úteis extras (que usarei ao longo da resolução):
  • Magnetização por unidade de volume: M=\chi_{m}H.
  • Adiabático significa dS=0.
  • Vou trabalhar com a entropia total da amostra S e usar uma relação de Maxwell que conecta \partial S/\partial H com \partial M/\partial T (mostro/justifico isso no passo seguinte).

Passo 2

Definir a magnetização e calcular sua derivada em relação a T (mantendo H fixo).
  • A magnetização por volume é
M=\chi_{m}H=\frac{C}{T}\,H.
  • Diferenciando M em relação a T com H constante:
\left(\frac{\partial M}{\partial T}\right)_{H} =\frac{\partial}{\partial T}\!\left(\frac{C H}{T}\right) =-\frac{C H}{T^{2}}.
Explicação curta: H é tratado como constante nessa derivada porque o subíndice indica que é derivada parcial a H fixo; a regra do quociente dá o sinal negativo e o fator T^{-2}.

Passo 3

Obter a expressão diferencial da entropia total S da amostra em presença de campo magnético e aplicar a condição adiabática.
  • Para a amostra inteira, a variação infinitesimal de entropia pode ser escrita como soma da variação térmica e da variação devido ao campo:
dS=\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{H} dT +\left(\frac{\partial S}{\partial H}\right)_{T} dH.
  • A primeira derivada térmica, à pressão/volume fixos, relaciona-se com o calor específico total: a capacidade térmica total da amostra é m c, logo
\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{H}=\frac{m c}{T}.
Explicação: para um sistema sem trabalho de expansão relevante, dQ = m c\, dT e dS=dQ/T a partir da definição de entropia diferencial reversível.

Passo 4

Obter a relação de Maxwell que liga \left(\partial S/\partial H\right)_{T} a \left(\partial M/\partial T\right)_{H} e inserir na expressão de dS.
  • Considere a energia livre de Helmholtz F da amostra tratada como função de T e H. Para esse potencial vale (variando T e H):
dF=-S\,dT - \mu_{0}V M\, dH.
(Isto é uma forma padrão em termodinâmica magnética: a variação de F com T -S e com H -\mu_{0}V M.)
  • Igualando derivadas mistas \partial^2 F/(\partial H\partial T)=\partial^2 F/(\partial T\partial H) resulta na relação de Maxwell
\left(\frac{\partial S}{\partial H}\right)_{T} =\mu_{0}V\left(\frac{\partial M}{\partial T}\right)_{H}.
Explicação breve: deriva-se \partial F/\partial T = -S e \partial F/\partial H = -\mu_{0}V M; derivadas mistas iguais dão a relação acima.

Passo 5

Substituir a relação de Maxwell na expressão de dS e usar a condição adiabática dS=0.
  • Substituindo em dS:
dS=\frac{m c}{T}\,dT + \mu_{0}V\left(\frac{\partial M}{\partial T}\right)_{H} dH.
  • Como o processo é adiabático, dS=0. Portanto
\frac{m c}{T}\,dT + \mu_{0}V\left(\frac{\partial M}{\partial T}\right)_{H} dH = 0.

Passo 6

Inserir \left(\partial M/\partial T\right)_{H} calculado no Passo 2 e simplificar para chegar à relação pedida.
  • Do Passo 2 temos \left(\dfrac{\partial M}{\partial T}\right)_{H} = -\dfrac{C H}{T^{2}}. Substituindo:
\frac{m c}{T}\,dT + \mu_{0}V\left(-\frac{C H}{T^{2}}\right) dH = 0.
  • Multiplicando toda a equação por T^{2}:
m c\,T\,dT - \mu_{0}V C\,H\,dH = 0.
  • Reorganizando:
m c\,T\,dT = \mu_{0}V C\,H\,dH.
  • Agora observe que d\!\left(T^{2}\right)=2T\,dT e d\!\left(H^{2}\right)=2H\,dH. Multiplicando ambos os lados por 2 ou reescrevendo diretamente:
m c\,d\!\left(T^{2}\right)=\mu_{0}V C\,d\!\left(H^{2}\right).
Isso é exatamente a relação requisitada.

Resposta

m c\, d\!\left(T^{2}\right)=V \mu_{0} C\, d\!\left(H^{2}\right)

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