Um estrela de nêutron é o estágio final da evolução de algumas estrelas, quando há um esgotamento da energia interna e a pressão não é suficiente para evitar o colapso, formando um corpo extremamente denso e que gira rapidamente. Considere uma estrela de nêutrons com a mesma massa do Sol.
Qual o raio de uma órbita síncrona com a rotação da estrela?
Qual o raio de uma órbita síncrona com a rotação da estrela?
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (sem outras informações):
- Dado: a estrela de nêutrons tem massa igual à massa do Sol, ou seja
. - Pedido: encontrar o raio de uma órbita síncrona com a rotação da estrela — isto é, o raio
tal que o período orbital ao redor da estrela é igual ao período de rotação da própria estrela.
Observação importante (sem pedir nada): o enunciado NÃO informa o período de rotação da estrela (ou sua velocidade angular). Por isso a resposta geral é uma fórmula em função da velocidade angular
(ou do período
). Para ficar prático para a prova, vou:
- derivar a fórmula geral de forma didática;
- apresentar valores numéricos de exemplo para períodos típicos de estrelas de nêutrons (pulsar de milissegundo, Crab, 1 s, 10 s), mostrando como aplicar a fórmula.
Passo 2
Entendendo o que significa “órbita síncrona”: a órbita é síncrona quando o corpo em órbita completa uma revolução em torno da estrela no mesmo tempo que a estrela gira em torno do próprio eixo. Em termos de períodos, isso quer dizer que o período orbital
é igual ao período de rotação
da estrela:
Agora, para uma órbita circular ao redor de uma massa
, a condição de equilíbrio entre a força gravitacional e a força centrípeta do corpo em órbita dá:
onde:
-
é a constante gravitacional universal (medida em ); -
é a massa central (aqui ); -
é a massa do corpo em órbita (cancela-se na equação); -
é o raio da órbita circular que queremos; -
é a velocidade angular da órbita (em ), que para órbita síncrona é igual à velocidade angular de rotação da estrela.
Explicando a equação: o lado esquerdo é a força gravitacional
. O lado direito é a força necessária para manter o movimento circular (massa vezes aceleração centrípeta)
. Igualando-as encontra-se a condição para órbita circular com velocidade angular
.
Passo 3
A partir da igualdade anterior, simplificamos:
Tomando a raiz cúbica:
Como muitas vezes é mais prático usar o período de rotação
(em segundos), lembramos que
. Substituindo:
Aqui cada símbolo significa:
-
: raio da órbita síncrona (em metros, ); -
: constante gravitacional, ; -
: massa da estrela ( se for massa do Sol, ); -
: período de rotação da estrela (em segundos); -
: velocidade angular, .
Passo 4
Calculemos o fator
para facilitar substituições numéricas. Usando valores:
temos
Portanto a fórmula prática é
Passo 5
Agora exemplifico para períodos típicos de estrelas de nêutrons (valor de
em metros e em quilômetros). Vou usar cálculo por escalamento: como
, dá para relacionar com um caso de referência; aqui calculo diretamente cada caso.
Cálculos rápidos (apresentando passos numéricos essenciais):
- Para
:
- Para
(33 ms, ordem do pulsar do Crab):
- Para
(1 ms, pulsar de milissegundo):
- Para
:
Passo 6
Interpretação física e dica para prova:
- Um raio síncrono que seja menor do que o raio físico da estrela não corresponde a uma órbita externa possível — significa que o ponto corrotante fica dentro da estrela. Estrelas de nêutrons típicas têm raio
a . Então: - Para
obtivemos , ou seja, muito perto do raio da estrela (pode haver órbita síncrona externa muito próxima da superfície). - Para períodos ainda menores (rotadores ultrarrápidos) o raio síncrono cairia abaixo do raio físico — não existe órbita síncrona externa.
- Para
- Em prova: apresente a fórmula geral
e, se pedirem número, substitua e o (ou ) dado. Se o enunciado não dá , escreva a expressão em função de :