Um estrela de nêutron é o estágio final da evolução de algumas estrelas, quando há um esgotamento da energia interna e a pressão não é suficiente para evitar o colapso, formando um corpo extremamente denso e que gira rapidamente. Considere uma estrela de nêutrons com a mesma massa do Sol.
Qual o raio de uma órbita síncrona com a rotação da estrela?

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (sem outras informações):
  • Dado: a estrela de nêutrons tem massa igual à massa do Sol, ou seja M = M_{\odot}.
  • Pedido: encontrar o raio de uma órbita síncrona com a rotação da estrela — isto é, o raio r tal que o período orbital ao redor da estrela é igual ao período de rotação da própria estrela.
Observação importante (sem pedir nada): o enunciado NÃO informa o período de rotação da estrela (ou sua velocidade angular). Por isso a resposta geral é uma fórmula em função da velocidade angular \Omega (ou do período P). Para ficar prático para a prova, vou:
  • derivar a fórmula geral de forma didática;
  • apresentar valores numéricos de exemplo para períodos típicos de estrelas de nêutrons (pulsar de milissegundo, Crab, 1 s, 10 s), mostrando como aplicar a fórmula.

Passo 2

Entendendo o que significa “órbita síncrona”: a órbita é síncrona quando o corpo em órbita completa uma revolução em torno da estrela no mesmo tempo que a estrela gira em torno do próprio eixo. Em termos de períodos, isso quer dizer que o período orbital T_{\text{orb}} é igual ao período de rotação P da estrela:
T_{\text{orb}} = P.
Agora, para uma órbita circular ao redor de uma massa M, a condição de equilíbrio entre a força gravitacional e a força centrípeta do corpo em órbita dá:
\frac{G M m}{r^{2}} = m r \Omega^{2},
onde:
  • G é a constante gravitacional universal (medida em \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}});
  • M é a massa central (aqui M_{\odot});
  • m é a massa do corpo em órbita (cancela-se na equação);
  • r é o raio da órbita circular que queremos;
  • \Omega é a velocidade angular da órbita (em \mathrm{s^{-1}}), que para órbita síncrona é igual à velocidade angular de rotação da estrela.
Explicando a equação: o lado esquerdo é a força gravitacional F_{g}=G M m / r^{2}. O lado direito é a força necessária para manter o movimento circular (massa vezes aceleração centrípeta) F_{c}=m r \Omega^{2}. Igualando-as encontra-se a condição para órbita circular com velocidade angular \Omega.

Passo 3

A partir da igualdade anterior, simplificamos:
\frac{G M}{r^{2}} = r \Omega^{2} \quad\Rightarrow\quad r^{3} = \frac{G M}{\Omega^{2}}.
Tomando a raiz cúbica:
r = \left(\frac{G M}{\Omega^{2}}\right)^{1/3}.
Como muitas vezes é mais prático usar o período de rotação P (em segundos), lembramos que \Omega = \dfrac{2\pi}{P}. Substituindo:
r = \left(\frac{G M}{(2\pi/P)^{2}}\right)^{1/3} = \left(G M \left(\frac{P}{2\pi}\right)^{2}\right)^{1/3}.
Aqui cada símbolo significa:
  • r: raio da órbita síncrona (em metros, \mathrm{m});
  • G: constante gravitacional, \;G \approx 6,67430\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}};
  • M: massa da estrela ( M_{\odot} se for massa do Sol, \;M_{\odot}\approx1,989\times10^{30}\\ \mathrm{kg});
  • P: período de rotação da estrela (em segundos);
  • \Omega: velocidade angular, \Omega=2\pi/P.

Passo 4

Calculemos o fator G M_{\odot} para facilitar substituições numéricas. Usando valores:
G \approx 6,67430\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}},\qquad M_{\odot}\approx1,989\times10^{30}\\ \mathrm{kg},
temos
G M_{\odot} \approx 1,3271244\times10^{20}\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-2}}.
Portanto a fórmula prática é
r = \left(1,3271244\times10^{20}\\ \frac{P^{2}}{(2\pi)^{2}}\right)^{1/3}.

Passo 5

Agora exemplifico para períodos típicos de estrelas de nêutrons (valor de r em metros e em quilômetros). Vou usar cálculo por escalamento: como r\propto P^{2/3}, dá para relacionar com um caso de referência; aqui calculo diretamente cada caso.
Cálculos rápidos (apresentando passos numéricos essenciais):
  1. Para P = 1\\ \mathrm{s}:
\Omega = \frac{2\pi}{1}=2\pi\\ \mathrm{s^{-1}},\quad \Omega^{2}\approx39,4784\\ \mathrm{s^{-2}}.
r = \left(\frac{1,3271244\times10^{20}}{39,4784}\right)^{1/3} \approx\left(3,361\times10^{18}\right)^{1/3} \approx 1,503\times10^{6}\\ \mathrm{m}=1\,503\\ \mathrm{km}.
  1. Para P = 0,033\\ \mathrm{s} (33 ms, ordem do pulsar do Crab):
\Omega = \frac{2\pi}{0,033}\approx190,985\\ \mathrm{s^{-1}},\quad \Omega^{2}\approx3,6475\times10^{4}\\ \mathrm{s^{-2}}.
r \approx\left(\frac{1,3271244\times10^{20}}{3,6475\times10^{4}}\right)^{1/3} \approx\left(3,64\times10^{15}\right)^{1/3} \approx 1,536\times10^{5}\\ \mathrm{m}=154\\ \mathrm{km}.
  1. Para P = 0,001\\ \mathrm{s} (1 ms, pulsar de milissegundo):
\Omega = \frac{2\pi}{0,001}\approx6,283,185\\ \mathrm{s^{-1}},\quad \Omega^{2}\approx3,94784\times10^{7}\\ \mathrm{s^{-2}}.
r \approx\left(\frac{1,3271244\times10^{20}}{3,94784\times10^{7}}\right)^{1/3} \approx\left(3,361\times10^{12}\right)^{1/3} \approx 1,503\times10^{4}\\ \mathrm{m}=15,0\\ \mathrm{km}.
  1. Para P = 10\\ \mathrm{s}:
\Omega = \frac{2\pi}{10}=0,6283185\\ \mathrm{s^{-1}},\quad \Omega^{2}\approx0,394784\\ \mathrm{s^{-2}}.
r \approx\left(\frac{1,3271244\times10^{20}}{0,394784}\right)^{1/3} \approx\left(3,361\times10^{20}\right)^{1/3} \approx 6,976\times10^{6}\\ \mathrm{m}=6\,976\\ \mathrm{km}.

Passo 6

Interpretação física e dica para prova:
  • Um raio síncrono que seja menor do que o raio físico da estrela não corresponde a uma órbita externa possível — significa que o ponto corrotante fica dentro da estrela. Estrelas de nêutrons típicas têm raio R_{\text{NS}}\sim10 a 12\\ \mathrm{km}. Então:
    • Para P\approx1\\ \mathrm{ms} obtivemos r\approx15\\ \mathrm{km}, ou seja, muito perto do raio da estrela (pode haver órbita síncrona externa muito próxima da superfície).
    • Para períodos ainda menores (rotadores ultrarrápidos) o raio síncrono cairia abaixo do raio físico — não existe órbita síncrona externa.
  • Em prova: apresente a fórmula geral \;r=\big(GM/\Omega^{2}\big)^{1/3}\; e, se pedirem número, substitua M=M_{\odot} e o P (ou \Omega) dado. Se o enunciado não dá P, escreva a expressão em função de P:
r = \left(GM_{\odot}\left(\frac{P}{2\pi}\right)^{2}\right)^{1/3}.

Resposta

r=\left(\frac{G M_{\odot}}{\Omega^{2}}\right)^{1/3}
\text{(em termos do período }P\text{):}\quad r=\left(G M_{\odot}\left(\frac{P}{2\pi}\right)^{2}\right)^{1/3}í
P=1\\ \mathrm{s}\quad\Rightarrow\quad r\approx1,503\times10^{6}\\ \mathrm{m}=1\,503\\ \mathrm{km}
P=0,033\\ \mathrm{s}\quad\Rightarrow\quad r\approx1,536\times10^{5}\\ \mathrm{m}=154\\ \mathrm{km}
P=0,001\\ \mathrm{s}\quad\Rightarrow\quad r\approx1,503\times10^{4}\\ \mathrm{m}=15,0\\ \mathrm{km}
P=10\\ \mathrm{s}\quad\Rightarrow\quad r\approx6,976\times10^{6}\\ \mathrm{m}=6\,976\\ \mathrm{km}

Exercícios relacionados