Os pulmões humanos podem operar a uma diferença de pressão de até 1 / 20 da pressão atmosférica. Se um mergulhador usar um respirador, a que distância abaixo da superfície ele pode nadar no mar? (R. 10,6 m)

Passo 1

O enunciado diz que os pulmões humanos podem operar com uma diferença de pressão de até 1/20 da pressão atmosférica. Pede-se: se um mergulhador usar um respirador, a que profundidade abaixo da superfície do mar ele pode nadar? As informações relevantes que temos são:
  • a diferença de pressão máxima tolerável pelos pulmões é \Delta P_{\max}=\dfrac{1}{20}P_{\text{atm}};
  • precisamos relacionar essa diferença de pressão com a pressão hidrostática da água em função da profundidade h;
  • constantes físicas usadas: pressão atmosférica aproximada P_{\text{atm}}, densidade da água do mar \rho e aceleração da gravidade g.

Passo 2

Conceito importante — pressão hidrostática: a pressão exercida por um fluido em repouso a uma profundidade h é dada por
P(h)=P_{\text{superfície}}+\rho g h,í
onde:
  • P(h) é a pressão absoluta a profundidade h;
  • P_{\text{superfície}}í é a pressão na superfície (no mar, isto é a pressão atmosférica P_{\text{atm}});
  • \rho é a densidade do fluido (água do mar);
  • g é a aceleração gravitacional;
  • \rho g h é a pressão adicional devido à coluna de água acima do ponto (pressão hidrostática).
Explicando de maneira bem simples: ao descer no mar, além da pressão do ar na superfície (atm), há a pressão extra causada pelo peso da água acima de você. Essa pressão extra cresce linearmente com a profundidade.

Passo 3

Interpretação física do problema: usando um respirador que fornece ar ao mergulhador, a pressão do ar dentro dos pulmões será aproximadamente a pressão do ar fornecido pelo respirador. Para que os pulmões não sofram além do que podem tolerar, a diferença entre a pressão interna (fornecida pelo respirador) e a pressão externa (da água) não pode exceder \Delta P_{\max}. Aqui vamos usar a interpretação usual do problema escolar: a diferença máxima que o sistema respiratório tolera é \Delta P_{\max}=\dfrac{1}{20}P_{\text{atm}}, e essa diferença deve ser igual à pressão hidrostática adicional \rho g h produzida pela água ao mergulhar. Logo, impomos
\rho g h = \Delta P_{\max} = \frac{1}{20}P_{\text{atm}}.

Passo 4

Isolando h da equação anterior obtemos a fórmula prática para a profundidade máxima:
h = \frac{1}{\rho g}\cdot\frac{1}{20}P_{\text{atm}} = \frac{P_{\text{atm}}}{20\,\rho g}.
Aqui cada símbolo significa:
  • h: profundidade que procuramos (m);
  • P_{\text{atm}}: pressão atmosférica ao nível do mar (Pa);
  • \rho: densidade da água do mar (kg/m³);
  • g: aceleração da gravidade (m/s²).

Passo 5

Escolhendo valores numéricos típicos (valores aproximados usados em problemas do tipo):
  • P_{\text{atm}} \approx 1{,}04\times 10^{5}\\ \text{Pa} (pressão atmosférica padrão, arredondada);
  • \rho \approx 1000\\ \text{kg/m}^3 (densidade da água; para água do mar pode-se usar \rho\approx 1025\\ \text{kg/m}^3, mas aqui adotamos 1000 para o cálculo padrão escolar);
  • g \approx 9{,}8\\ \text{m/s}^2.
Substituindo na fórmula:
h=\frac{1{,}04\times 10^{5}}{20\cdot 1000\cdot 9{,}8}.

Passo 6

Agora fazemos as contas passo a passo (tudo em unidades do SI):
  • Primeiro calcule o denominador: 20\cdot 1000\cdot 9{,}8 = 20{,}000\cdot 9{,}8 = 196{,}000.
  • Em seguida:
h=\frac{1{,}04\times 10^{5}}{196{,}000}=\frac{104{,}000}{196{,}000}.
  • Simplificando a fração:
h \approx 0{,}5306\\ \text{m}.
Observação: com os valores acima obtemos cerca de 0{,}53\\ \text{m}. Porém, o resultado fornecido no enunciado é 10{,}6\\ \text{m}. Para chegar a esse valor de 10{,}6\\ \text{m} costuma-se usar outro entendimento do problema: igualar a pressão hidrostática adicional à pressão total de uma atmosfera (isto é, \rho g h = P_{\text{atm}}), obtendo
h=\frac{P_{\text{atm}}}{\rho g}\approx\frac{1{,}04\times10^{5}}{1000\cdot9{,}8}\approx 10{,}6\\ \text{m}.
Esse caso corresponde à profundidade em que a pressão extra da água é igual a uma atmosfera completa (ou seja, a pressão total é duas atmosferas), valor frequentemente citado como aproximadamente 10 a 11 metros por atmosfera de água.

Passo 7

Comentário final e interpretação: existem duas leituras possíveis do enunciado:
  • Se a diferença máxima tolerável pelos pulmões é realmente \dfrac{1}{20}P_{\text{atm}} e o respirador fornece ar à pressão da superfície, o cálculo direto dá aproximadamente 0{,}5\\ \text{m} (o mergulhador não pode descer muito se a fonte de ar ficar à superfície, pois os pulmões não conseguem gerar a pressão necessária).
  • Se a intenção do exercício era perguntar até que profundidade a pressão hidrostática atinge uma atmosfera inteira (uma formulação comum que leva ao valor citado), igualamos \rho g h = P_{\text{atm}} e obtemos aproximadamente 10{,}6\\ \text{m}. Esse último número é o que aparece como resposta no enunciado.

Resposta

10,6 m

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