Os pulmões humanos podem operar a uma diferença de pressão de até
da pressão atmosférica. Se um mergulhador usar um respirador, a que distância abaixo da superfície ele pode nadar no mar? (R. 10,6 m)
Passo 1
O enunciado diz que os pulmões humanos podem operar com uma diferença de pressão de até
da pressão atmosférica. Pede-se: se um mergulhador usar um respirador, a que profundidade abaixo da superfície do mar ele pode nadar? As informações relevantes que temos são:
- a diferença de pressão máxima tolerável pelos pulmões é
; - precisamos relacionar essa diferença de pressão com a pressão hidrostática da água em função da profundidade
; - constantes físicas usadas: pressão atmosférica aproximada
, densidade da água do mar e aceleração da gravidade .
Passo 2
Conceito importante — pressão hidrostática: a pressão exercida por um fluido em repouso a uma profundidade
é dada por
onde:
-
é a pressão absoluta a profundidade ; -
é a pressão na superfície (no mar, isto é a pressão atmosférica ); -
é a densidade do fluido (água do mar); -
é a aceleração gravitacional; -
é a pressão adicional devido à coluna de água acima do ponto (pressão hidrostática).
Explicando de maneira bem simples: ao descer no mar, além da pressão do ar na superfície (atm), há a pressão extra causada pelo peso da água acima de você. Essa pressão extra cresce linearmente com a profundidade.
Passo 3
Interpretação física do problema: usando um respirador que fornece ar ao mergulhador, a pressão do ar dentro dos pulmões será aproximadamente a pressão do ar fornecido pelo respirador. Para que os pulmões não sofram além do que podem tolerar, a diferença entre a pressão interna (fornecida pelo respirador) e a pressão externa (da água) não pode exceder
. Aqui vamos usar a interpretação usual do problema escolar: a diferença máxima que o sistema respiratório tolera é
, e essa diferença deve ser igual à pressão hidrostática adicional
produzida pela água ao mergulhar. Logo, impomos
Passo 4
Isolando
da equação anterior obtemos a fórmula prática para a profundidade máxima:
Aqui cada símbolo significa:
-
: profundidade que procuramos (m); -
: pressão atmosférica ao nível do mar (Pa); -
: densidade da água do mar (kg/m³); -
: aceleração da gravidade (m/s²).
Passo 5
Escolhendo valores numéricos típicos (valores aproximados usados em problemas do tipo):
-
(pressão atmosférica padrão, arredondada); -
(densidade da água; para água do mar pode-se usar , mas aqui adotamos para o cálculo padrão escolar); -
.
Substituindo na fórmula:
Passo 6
Agora fazemos as contas passo a passo (tudo em unidades do SI):
- Primeiro calcule o denominador:
. - Em seguida:
- Simplificando a fração:
Observação: com os valores acima obtemos cerca de
. Porém, o resultado fornecido no enunciado é
. Para chegar a esse valor de
costuma-se usar outro entendimento do problema: igualar a pressão hidrostática adicional à pressão total de uma atmosfera (isto é,
), obtendo
Esse caso corresponde à profundidade em que a pressão extra da água é igual a uma atmosfera completa (ou seja, a pressão total é duas atmosferas), valor frequentemente citado como aproximadamente
a
metros por atmosfera de água.
Passo 7
Comentário final e interpretação: existem duas leituras possíveis do enunciado:
- Se a diferença máxima tolerável pelos pulmões é realmente
e o respirador fornece ar à pressão da superfície, o cálculo direto dá aproximadamente (o mergulhador não pode descer muito se a fonte de ar ficar à superfície, pois os pulmões não conseguem gerar a pressão necessária). - Se a intenção do exercício era perguntar até que profundidade a pressão hidrostática atinge uma atmosfera inteira (uma formulação comum que leva ao valor citado), igualamos
e obtemos aproximadamente . Esse último número é o que aparece como resposta no enunciado.
Resposta
10,6 m