\mathbf{4}^{\mathrm{a}} QUESTÃO. A altura inicial de uma amostra é \mathrm{h} 0=2,0 \mathrm{~cm} e o seu índice de vazios ei =1,18. Submetida a um ensaio de adensamento, a altura se reduz para 1,28 \mathrm{~cm}. Qual o índice de vazios final?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma coisa só:
  • Altura inicial: h_0 = 2,0\\ \mathrm{cm}.
  • Índice de vazios inicial: e_i = 1,18.
  • Após adensamento, altura final: h_f = 1,28\\ \mathrm{cm}.
  • Pergunta: qual é o índice de vazios final e_f?

Passo 2

Entendendo o que é o índice de vazios e as variáveis que vamos usar (aula rapidinha, mas importante).
Definições básicas:
  • O volume total de amostra é V_t.
  • O volume de sólidos é V_s (não muda no adensamento, assumimos que as partículas não se quebraram ou saíram).
  • O volume de vazios é V_v.
Por definição, o índice de vazios é
e=\frac{V_v}{V_s}.
Como V_t = V_s + V_v, podemos escrever
\frac{V_t}{V_s} = 1 + e.
Isso é muito útil porque relaciona o volume total com o índice de vazios.

Passo 3

Relação entre volumes e alturas (passo chave): para uma amostra com mesma seção transversal A (assumimos que a seção não mudou), o volume total é proporcional à altura:
V_t = A\cdot h.
Como A e V_s permanecem constantes, a razão \dfrac{V_t}{V_s} escala com a altura h. Portanto, da condição inicial para a final:
\frac{V_{t,f}}{V_s} = \frac{V_{t,0}}{V_s}\cdot\frac{h_f}{h_0}.
Usando \dfrac{V_t}{V_s}=1+e, isso vira
1+e_f = (1+e_i)\cdot\frac{h_f}{h_0}.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos na fórmula obtida. Primeiro calculemos a razão de alturas:
\frac{h_f}{h_0} = \frac{1,28}{2,0} = 0,64.
Em seguida, calculemos 1+e_i:
1+e_i = 1 + 1,18 = 2,18.
Então
1+e_f = 2,18 \times 0,64.

Passo 5

Fazendo a multiplicação passo a passo (sem calculadora, para você conseguir na prova):
2,18 \times 0,64 = \frac{2{,}18 \times 64}{100}.
Calcule 2{,}18 \times 64:
2{,}18 \times 64 = 218 \times 64 /100 = 13\,952/100 = 139{,}52.
Dividindo por 100:
2{,}18 \times 0{,}64 = 1{,}3952.
Logo
1+e_f = 1{,}3952.

Passo 6

Isolando e_f:
e_f = 1{,}3952 - 1 = 0{,}3952.
Arredondando a um nível razoável de precisão (os dados iniciais têm duas ou três algarismos significativos), podemos usar três casas decimais:
e_f \approx 0{,}395.

Resposta

e_f = 0{,}395

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