\mathbf{5}^{\mathrm{a}} QUESTÃO. Um aterro foi construído sobre uma camada de solo compressível, sem haver umestudo mais preciso quanto as deformações devidas o carregamento. Sabendo-se que houve um recalque de 2,2 \mathrm{~m}, determine o índice de vazios no início da fase de adensamento sabendo que o índice de vazios após a estabilização das deformações de 2,0 e que a espessura desta camada ao final do adensamento é de 8,8 metros.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o índice de vazios no início da fase de adensamento. Dados fornecidos:
  • recalque (assentamento) s = 2,2\\ \mathrm{m};
  • índice de vazios após estabilização e_{\mathrm{f}} = 2,0;
  • espessura da camada ao final do adensamento H_{\mathrm{f}} = 8,8\\ \mathrm{m}.
Queremos encontrar e_{0} (índice de vazios inicial). Não há outras informações ocultas: supondo camada com mesma área lateral e massa de sólidos constante.

Passo 2

Conceito e fórmula básica (aula rápida e prática).
  • Índice de vazios e é definido por
e=\frac{V_{\mathrm{v}}}{V_{\mathrm{s}}},
onde V_{\mathrm{v}} é o volume de vazios e V_{\mathrm{s}} é o volume de sólidos.
  • O volume total V do elemento de solo é V=V_{\mathrm{s}}+V_{\mathrm{v}}=V_{\mathrm{s}}(1+e).
    Se considerarmos área da camada constante (por exemplo, área unitária A=1), a espessura H é proporcional ao volume total, logo vale
H \propto V = V_{\mathrm{s}}(1+e).
Como V_{\mathrm{s}} (volume de sólidos) permanece constante durante o adensamento, podemos escrever a relação entre espessuras e índices de vazios:
\frac{H_{0}}{H_{\mathrm{f}}}=\frac{1+e_{0}}{1+e_{\mathrm{f}}}.
Aqui H_{0} é a espessura inicial (antes do adensamento), H_{\mathrm{f}} a espessura final, e_{0} o índice inicial e e_{\mathrm{f}} o índice final. Essa relação vem da conservação do volume de sólidos.

Passo 3

Determinar a espessura inicial H_{0} a partir do recalque.
Por definição de recalque:
s = H_{0}-H_{\mathrm{f}}.
Isolando H_{0}:
H_{0}=H_{\mathrm{f}}+s.
Substituindo os valores dados:
H_{0}=8,8\\ \mathrm{m}+2,2\\ \mathrm{m}=11,0\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Isolar e_{0} na relação entre espessuras e índices de vazios.
Partindo de
\frac{H_{0}}{H_{\mathrm{f}}}=\frac{1+e_{0}}{1+e_{\mathrm{f}}},
isolamos e_{0}:
1+e_{0}=\frac{H_{0}}{H_{\mathrm{f}}}\,(1+e_{\mathrm{f}}),
portanto
e_{0}=\frac{H_{0}}{H_{\mathrm{f}}}\,(1+e_{\mathrm{f}})-1.
Aqui explicando variáveis:
  • H_{0}: espessura inicial (m);
  • H_{\mathrm{f}}: espessura final (m);
  • e_{\mathrm{f}}: índice de vazios final (adimensional);
  • e_{0}: índice de vazios inicial (o que queremos).

Passo 5

Substituir os números e calcular passo a passo.
Calcule a razão de espessuras:
\frac{H_{0}}{H_{\mathrm{f}}}=\frac{11,0}{8,8}=1,25.
Calcule 1+e_{\mathrm{f}}:
1+e_{\mathrm{f}}=1+2,0=3,0.
Multiplique:
\frac{H_{0}}{H_{\mathrm{f}}}\,(1+e_{\mathrm{f}})=1,25\times 3,0=3,75.
Finalmente subtraia 1 para obter e_{0}:
e_{0}=3,75-1=2,75.

Passo 6

Verificação rápida (sanity check) para ficar mais tranquilo: usando e_{0}=2,75 e a relação inicial,
H_{0}=H_{\mathrm{f}}\cdot\frac{1+e_{0}}{1+e_{\mathrm{f}}}=8,8\cdot\frac{1+2,75}{1+2,0}=8,8\cdot\frac{3,75}{3,0}=8,8\cdot 1,25=11,0\\ \mathrm{m},
que coincide com o H_{0} obtido no Passo 3. Logo o resultado é consistente.

Resposta

e_{0}=2,75

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