Um pulso movendo-se através de uma corda é descrito por
sendo
constante. Para que se tenha ideia da sua forma, esboce o gráfico de
em função de
para
. Qual a velocidade e o sentido de propagação? Obtenha, também, a velocidade transversal
de um ponto da corda.
Passo 1
O enunciado fornece a função
com
constante. As perguntas são:
- Esboçar o gráfico de
em função de para . - Determinar a velocidade e o sentido de propagação do pulso.
- Obter a velocidade transversal
de um ponto da corda.
Informações relevantes dadas:
- A forma da onda depende da combinação
. -
é uma constante positiva (presumivelmente), que define escala de amplitude e largura.
Passo 2
Avaliar a forma do pulso em
. Substituindo
na expressão:
Simplificar para ver amplitude e comportamento:
Observações para o esboço:
- O valor máximo ocorre em
: . Então a crista tem altura . - A função é par em
(simétrica em torno de ), porque depende de . - Para
grande, , ou seja, decai como (cauda lenta, formato tipo “Lorentziana/Cauchy”). - Podemos obter a largura útil: resolver
para achar a meia-altura.
Logo a largura a meia-altura (FWHM) é
(porque de
até
).
- Com isso, o esboço em
é um pico central em de altura , simétrico, com caudas decaindo como e FWHM .
Passo 3
Determinar velocidade e sentido de propagação do pulso. Método: localizar a posição de uma característica do pulso (por exemplo a crista) ao longo do tempo. A crista ocorre quando o argumento
tem um dado valor constante (por exemplo zero para o pico central). Igualar o argumento a uma constante
:
Isto mostra que um ponto de mesma forma (mesma fase) move-se com velocidade
Portanto:
- A velocidade de propagação do pulso ao longo de
é . - O sentido depende do sinal de
: se , então aumenta com e o pulso se desloca para a direita; se , desloca-se para a esquerda.
Comentário físico simples: a dependênciaindica que a forma se desloca sem deformar, com velocidade .
Passo 4
Calcular a velocidade transversal
de um ponto da corda (derivada parcial em que
é tratada como constante). Para facilitar, defina o argumento
Então
. Usar regra da cadeia:
.
Primeiro calcule . Tratar
e
constantes:
Primeiro calcule
Depois,
(porque
é constante na derivada parcial).
Multiplicando:
Multiplicando:
Substituir
de volta:
Passo 5
Interpretar a expressão de
(dicas para prova e entendimento):
- No centro do pulso, onde
(posição da crista), tem-se : a crista está instantaneamente com velocidade vertical nula (o pico passa sem cruzar verticalmente naquele instante). - Para
e , : à frente da crista a corda está se deslocando para cima; logo atrás ( ) , deslocando-se para baixo. Isso é típico de uma onda passando. - Para
muito grande, tende a zero (pontos distantes praticamente imóveis verticalmente). - Marca mental para a prova: sempre verifique a forma
. A velocidade espacial é e a derivada temporal usa cadeia com .
Resposta
Esboço em
: pico central em
de altura
, simétrico, com caudas decaindo como
; FWHM
.\nVelocidade de propagação:
(direção para a direita se
, para a esquerda se
).\nVelocidade transversal: