Um pulso movendo-se através de uma corda é descrito por
Y(x, t)=\frac{b^{3}}{b^{2}+(2 x-u t)^{2}}
sendo b constante. Para que se tenha ideia da sua forma, esboce o gráfico de Y em função de x para t=0. Qual a velocidade e o sentido de propagação? Obtenha, também, a velocidade transversal v_{T}=\partial Y / \partial t de um ponto da corda.

Passo 1

O enunciado fornece a função
Y(x,t)=\frac{b^{3}}{b^{2}+(2x-ut)^{2}},
com b constante. As perguntas são:
  • Esboçar o gráfico de Y em função de x para t=0.
  • Determinar a velocidade e o sentido de propagação do pulso.
  • Obter a velocidade transversal v_{T}=\partial Y/\partial t de um ponto da corda.
Informações relevantes dadas:
  • A forma da onda depende da combinação 2x-ut.
  • b é uma constante positiva (presumivelmente), que define escala de amplitude e largura.

Passo 2

Avaliar a forma do pulso em t=0. Substituindo t=0 na expressão:
Y(x,0)=\frac{b^{3}}{b^{2}+(2x)^{2}}=\frac{b^{3}}{b^{2}+4x^{2}}.
Simplificar para ver amplitude e comportamento:
Y(x,0)=\frac{b^{3}}{b^{2}+4x^{2}}=b\cdot\frac{b^{2}}{b^{2}+4x^{2}}=b\cdot\frac{1}{1+\dfrac{4x^{2}}{b^{2}}}.
Observações para o esboço:
  • O valor máximo ocorre em x=0: \displaystyle Y(0,0)=\frac{b^{3}}{b^{2}}=b. Então a crista tem altura b.
  • A função é par em x (simétrica em torno de x=0), porque depende de x^{2}.
  • Para |x| grande, Y\sim b^{3}/(4x^{2}), ou seja, decai como 1/x^{2} (cauda lenta, formato tipo “Lorentziana/Cauchy”).
  • Podemos obter a largura útil: resolver Y(x,0)=b/2 para achar a meia-altura. \frac{b^{3}}{b^{2}+4x^{2}}=\frac{b}{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{b^{2}}{b^{2}+4x^{2}}=\frac{1}{2}
2b^{2}=b^{2}+4x^{2}\quad\Rightarrow\quad 4x^{2}=b^{2}\quad\Rightarrow\quad x=\pm\frac{b}{2}.
Logo a largura a meia-altura (FWHM) é b (porque de -b/2 até +b/2).
  • Com isso, o esboço em t=0 é um pico central em x=0 de altura b, simétrico, com caudas decaindo como 1/x^{2} e FWHM =b.

Passo 3

Determinar velocidade e sentido de propagação do pulso. Método: localizar a posição de uma característica do pulso (por exemplo a crista) ao longo do tempo. A crista ocorre quando o argumento 2x-ut tem um dado valor constante (por exemplo zero para o pico central). Igualar o argumento a uma constante \xi:
2x - ut = \xi \quad\Rightarrow\quad x(t)=\frac{u}{2}t+\frac{\xi}{2}.
Isto mostra que um ponto de mesma forma (mesma fase) move-se com velocidade
v=\frac{dx}{dt}=\frac{u}{2}.
Portanto:
  • A velocidade de propagação do pulso ao longo de x é \displaystyle \frac{u}{2}.
  • O sentido depende do sinal de u: se u>0, então x aumenta com t e o pulso se desloca para a direita; se u<0, desloca-se para a esquerda.
    Comentário físico simples: a dependência Y=f(2x-ut) indica que a forma se desloca sem deformar, com velocidade u/2.

Passo 4

Calcular a velocidade transversal v_{T}=\partial Y/\partial t de um ponto da corda (derivada parcial em que x é tratada como constante). Para facilitar, defina o argumento
z=2x-ut.
Então Y(x,t)=\dfrac{b^{3}}{b^{2}+z^{2}}. Usar regra da cadeia: \partial Y/\partial t = (dY/dz)\cdot (dz/dt).
Primeiro calcule dY/dz. Tratar b e x constantes:
\frac{dY}{dz}=\frac{d}{dz}\left(\frac{b^{3}}{b^{2}+z^{2}}\right) = b^{3}\cdot\left(-1\right)\frac{2z}{(b^{2}+z^{2})^{2}} = -\frac{2b^{3}z}{(b^{2}+z^{2})^{2}}.
Depois, dz/dt=\dfrac{d}{dt}(2x-ut)=-u (porque x é constante na derivada parcial).
Multiplicando:
v_{T}=\frac{\partial Y}{\partial t}=\frac{dY}{dz}\cdot\frac{dz}{dt} = \left(-\frac{2b^{3}z}{(b^{2}+z^{2})^{2}}\right)\cdot(-u) =\frac{2u b^{3} z}{(b^{2}+z^{2})^{2}}.
Substituir z=2x-ut de volta:
\boxed{\,v_{T}(x,t)=\frac{2u b^{3}\,(2x-ut)}{\bigl(b^{2}+(2x-ut)^{2}\bigr)^{2}}\,.}

Passo 5

Interpretar a expressão de v_{T} (dicas para prova e entendimento):
  • No centro do pulso, onde 2x-ut=0 (posição da crista), tem-se v_{T}=0: a crista está instantaneamente com velocidade vertical nula (o pico passa sem cruzar verticalmente naquele instante).
  • Para 2x-ut>0 e u>0, v_{T}>0: à frente da crista a corda está se deslocando para cima; logo atrás ( 2x-ut<0) v_{T}<0, deslocando-se para baixo. Isso é típico de uma onda passando.
  • Para |2x-ut| muito grande, v_{T} tende a zero (pontos distantes praticamente imóveis verticalmente).
  • Marca mental para a prova: sempre verifique a forma Y=f(2x-ut). A velocidade espacial é u/2 e a derivada temporal usa cadeia com dz/dt=-u.

Resposta

Esboço em t=0: pico central em x=0 de altura Y(0,0)=b, simétrico, com caudas decaindo como 1/x^{2}; FWHM =b.\nVelocidade de propagação: \displaystyle v=\frac{u}{2} (direção para a direita se u>0, para a esquerda se u<0).\nVelocidade transversal: \displaystyle v_{T}(x,t)=\frac{2u b^{3}\,(2x-ut)}{\bigl(b^{2}+(2x-ut)^{2}\bigr)^{2}}\,.

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