A equação de uma onda senoidal é (comprimentos em metros e tempo em segundos)
Y(x, t)=0,3 \operatorname{sen}\left[\frac{\pi}{2}\left(5 x-2 t+\frac{1}{2}\right)\right]
Identifique a amplitude, fase inicial, comprimento de onda, período, velocidade e sentido de propagação.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado nos dá e o que pede. O enunciado fornece a equação de uma onda senoidal:
Y(x,t)=0,3\\ \operatorname{sen}\!\left[\frac{\pi}{2}\left(5x-2t+\frac{1}{2}\right)\right]
As perguntas são: identificar a amplitude, a fase inicial, o comprimento de onda, o período, a velocidade e o sentido de propagação.
Informações relevantes dadas (copiadas do enunciado):
Y(x,t)=0,3\\ \operatorname{sen}\!\left[\frac{\pi}{2}\left(5x-2t+\frac{1}{2}\right)\right].

Passo 2

Primeiro vamos pôr a função numa forma padrão usada para identificar os parâmetros da onda. A forma padrão mais comum é
Y(x,t)=A\sin\!\left(kx-\omega t+\varphi_0\right),
onde:
  • A é a amplitude (em metros);
  • k é o número de onda (em \text{rad}\,\text{m}^{-1});
  • \omega é a frequência angular (em \text{rad}\,\text{s}^{-1});
  • \varphi_0 é a fase inicial (em radianos).
Agora expandimos o argumento da função dada:
\frac{\pi}{2}\left(5x-2t+\frac{1}{2}\right) = \frac{5\pi}{2}x - \pi t + \frac{\pi}{4}.
Comparando com kx-\omega t+\varphi_0, identificamos:
k=\frac{5\pi}{2},\qquad \omega=\pi,\qquad \varphi_0=\frac{\pi}{4},
e a amplitude é o coeficiente fora do seno:
A=0,3\\ \text{m}.

Passo 3

Explicando cada coisa devagar e com calma (pra você entender na prova):
  • Amplitude A: é o valor máximo do deslocamento da onda. Aqui ela aparece multiplicando o seno, então
A=0,3\\ \text{m}.
  • Fase inicial \varphi_0: é o valor da fase quando x=0 e t=0. Extraímos diretamente do argumento expandido:
\varphi_0=\frac{\pi}{4}\\ \text{rad}.
Se preferir em graus:
\varphi_0=\frac{\pi}{4}=45^\circ.

Passo 4

Agora vamos achar o comprimento de onda \lambda. A relação entre número de onda k e comprimento de onda \lambda é
k=\frac{2\pi}{\lambda}.
Isolando \lambda temos
\lambda=\frac{2\pi}{k}.
Substituindo k=\dfrac{5\pi}{2}:
\lambda=\frac{2\pi}{\tfrac{5\pi}{2}}=\frac{2\pi\cdot 2}{5\pi}=\frac{4}{5}=0,8\\ \text{m}.
(ou seja, o comprimento de onda é \,0,8\\ \text{m}.)

Passo 5

Vamos determinar o período T. A relação entre frequência angular \omega e período T é
\omega=\frac{2\pi}{T}.
Logo
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Substituindo \omega=\pi:
T=\frac{2\pi}{\pi}=2\\ \text{s}.

Passo 6

Agora a velocidade de propagação v. Existem duas fórmulas equivalentes que é bom decorar:
v=\frac{\omega}{k}\qquad\text{ou}\qquad v=\frac{\lambda}{T}.
Usando \omega=\pi e k=\dfrac{5\pi}{2}:
v=\frac{\pi}{\tfrac{5\pi}{2}}=\frac{\pi\cdot 2}{5\pi}=\frac{2}{5}=0,4\\ \text{m/s}.
Ou conferindo com \lambda/T:
v=\frac{\lambda}{T}=\frac{0,8}{2}=0,4\\ \text{m/s},
mesmo resultado — bom sinal!

Passo 7

Determinar o sentido de propagação. Observando a forma padrão kx-\omega t+\varphi_0: quando a fase aparece combinada como kx-\omega t a onda se desloca no sentido positivo do eixo x (ou seja, para a direita). Se fosse kx+\omega t seria deslocamento no sentido negativo de x. Uma forma alternativa de ver: para manter a fase constante, kx-\omega t= constante implica
x=\frac{\omega}{k}t+\text{const},
ou seja x aumenta com t se \omega/k>0, indicando movimento no sentido positivo de x.
No nosso caso o argumento é kx-\omega t+\varphi_0 com k>0 e \omega>0, portanto a onda propaga-se no sentido positivo de x (direção +x).

Passo 8

Recapitulando os valores calculados (estes são os números que você deve escrever na prova; na próxima seção eu coloco só a resposta final como você pediu).

Resposta

A=0,3\\ \text{m}
\varphi_0=\dfrac{\pi}{4}\\ \text{rad}\\ (45^\circ)
\lambda=0,8\\ \text{m}
T=2\\ \text{s}
v=0,4\\ \text{m/s}
sentido de propagação: direção positiva do eixo x (para +x).

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