Dois pontos de um fio, localizados em
e
, possuem os seguintes movimentos transversais quando uma onda passa por ele,
Considere que a distância entre os pontos não seja maior que um comprimento de onda e que o movimento ocorra no sentido negativo do eixo
x. Obtenha a velocidade de propagação, comprimento de onda e frequência. Escreva, também, a equação da onda.
x. Obtenha a velocidade de propagação, comprimento de onda e frequência. Escreva, também, a equação da onda.
Passo 1
O enunciado dá duas oscilações transversais medidas em dois pontos de um fio separados por
e
. As expressões são:
O que pede:
- velocidade de propagação da onda;
- comprimento de onda
; - frequência
; - a equação da onda
.
Informações relevantes extraídas do enunciado: - amplitude comum
(observada nas duas expressões); - as duas oscilações têm a mesma dependência temporal básica
, logo a pulsação angular é ; - a fase entre os pontos difere em
rad (observa-se em e em ); - o enunciado diz que a onda se propaga no sentido negativo do eixo
; - a distância entre os pontos (
) não é maior que um comprimento de onda (ou seja, ).
Passo 2
Vou extrair a pulsação
a partir de
. Em
temos
Comparando com a forma temporal geral
, conclui-se que
Explicação didática:
(pulsação angular) é a constante que multiplica
dentro do seno; relaciona-se com a frequência por
. Aqui o coeficiente de
é
, logo
.
Passo 3
Escrevo a forma geral de uma onda harmônica unidimensional que se propaga ao longo do eixo
. Existem duas formas padrão:
- para onda deslocando-se no sentido positivo de
: ; - para onda deslocando-se no sentido negativo de
: .
Como o enunciado diz que o movimento ocorre no sentido negativo de, uso
Aqui:
-
é a amplitude (metros); -
é o número de onda (rad/m), ligado ao comprimento de onda por ; -
é a pulsação (rad/s), ligada à frequência por ; -
é a fase inicial em .
Substituo
e
e
:
Passo 4
Comparo a expressão em
com a dada
. Ao avaliar a forma geral em
:
No enunciado temos
Para que as duas expressões coincidam para todo
, os argumentos do seno diferem por um múltiplo inteiro de
:
Cancelando
obtemos
Explicação didática: duas funções
e
são idênticas para todo
se os argumentos diferem por
(ou, em princípio, se houver a simetria
, mas essa segunda possibilidade envolveria termos em
que não se cancelam aqui, portanto é descartada). Assim
é congruente com
módulo
.
Passo 5
Agora escolho o
adequado usando a condição sobre a distância entre pontos e o comprimento de onda. Lembrando que
e a diferença de fase entre os pontos é
. Do passo anterior
.
Cada valor de
dá um
diferente e, consequentemente, um
diferente:
Calculo alguns casos:
-
: . Aqui (condição satisfeita). -
: . Aqui (contraria a condição do enunciado). - valores de
dão ainda menores; valores de dão mas geram negativo ou maior comprimento de onda — o menor valor positivo de compatível é com .
Pelo enunciado (distância entre pontos não maior que um comprimento de onda) devemos escolher
. Portanto
Passo 6
Calculo a frequência
e a velocidade
. Usando
:
Velocidade de propagação (módulo) por
ou por
:
Como a onda se propaga no sentido negativo de
, a velocidade vetorial ao longo do eixo
vale
Passo 7
Escrevo finalmente a equação da onda, usando os parâmetros encontrados
,
,
e
:
Verificação rápida: em
isso dá
(ok); em
dá
(ok).
Resposta
Velocidade de propagação:
no sentido negativo de
(ou
).
Comprimento de onda: .
Frequência: .
Equação da onda: .
Comprimento de onda:
Frequência:
Equação da onda: