Dois pontos de um fio, localizados em x_{1}=0 e x_{2}=1,0 m, possuem os seguintes movimentos transversais quando uma onda passa por ele,
\begin{aligned} & Y_{1}=0,2 \operatorname{sen} 3 \pi t \\\ & Y_{2}=0,2 \operatorname{sen}(3 \pi t+\pi) \end{aligned}
Considere que a distância entre os pontos não seja maior que um comprimento de onda e que o movimento ocorra no sentido negativo do eixo
x. Obtenha a velocidade de propagação, comprimento de onda e frequência. Escreva, também, a equação da onda.

Passo 1

O enunciado dá duas oscilações transversais medidas em dois pontos de um fio separados por x_{1}=0 e x_{2}=1{,}0\\ \mathrm{m}. As expressões são:
Y_{1}=0{,}2\operatorname{sen} 3\pi t
Y_{2}=0{,}2\operatorname{sen}(3\pi t+\pi)
O que pede:
  • velocidade de propagação da onda;
  • comprimento de onda \lambda;
  • frequência f;
  • a equação da onda y(x,t).
    Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • amplitude comum A=0{,}2\\ \mathrm{m} (observada nas duas expressões);
  • as duas oscilações têm a mesma dependência temporal básica \operatorname{sen}(3\pi t+\ldots), logo a pulsação angular é \omega=3\pi\\ \mathrm{rad/s};
  • a fase entre os pontos difere em \pi rad (observa-se 3\pi t em x=0 e 3\pi t+\pi em x=1{,}0\\ \mathrm{m});
  • o enunciado diz que a onda se propaga no sentido negativo do eixo x;
  • a distância entre os pontos ( 1{,}0\\ \mathrm{m}) não é maior que um comprimento de onda (ou seja, \Delta x \le \lambda).

Passo 2

Vou extrair a pulsação \omega a partir de Y_{1}. Em x=0 temos
y(0,t)=0{,}2\operatorname{sen}(3\pi t).
Comparando com a forma temporal geral A\operatorname{sen}(\omega t+\varphi_{0}), conclui-se que
\omega=3\pi\\ \mathrm{rad/s}, \qquad \varphi_{0}=0.
Explicação didática: \omega (pulsação angular) é a constante que multiplica t dentro do seno; relaciona-se com a frequência por \omega=2\pi f. Aqui o coeficiente de t é 3\pi, logo \omega=3\pi.

Passo 3

Escrevo a forma geral de uma onda harmônica unidimensional que se propaga ao longo do eixo x. Existem duas formas padrão:
  • para onda deslocando-se no sentido positivo de x: y(x,t)=A\operatorname{sen}(kx-\omega t+\varphi);
  • para onda deslocando-se no sentido negativo de x: y(x,t)=A\operatorname{sen}(kx+\omega t+\varphi).
    Como o enunciado diz que o movimento ocorre no sentido negativo de x, uso
y(x,t)=A\operatorname{sen}(kx+\omega t+\varphi_{0}).
Aqui:
  • A é a amplitude (metros);
  • k é o número de onda (rad/m), ligado ao comprimento de onda por k=\dfrac{2\pi}{\lambda};
  • \omega é a pulsação (rad/s), ligada à frequência por \omega=2\pi f;
  • \varphi_{0} é a fase inicial em x=0.
Substituo A=0{,}2 e \omega=3\pi e \varphi_{0}=0:
y(x,t)=0{,}2\operatorname{sen}(kx+3\pi t).

Passo 4

Comparo a expressão em x=1{,}0\\ \mathrm{m} com a dada Y_{2}. Ao avaliar a forma geral em x=1{,}0:
y(1,t)=0{,}2\operatorname{sen}(k\cdot 1 + 3\pi t)=0{,}2\operatorname{sen}(3\pi t + k).
No enunciado temos
Y_{2}=0{,}2\operatorname{sen}(3\pi t+\pi).
Para que as duas expressões coincidam para todo t, os argumentos do seno diferem por um múltiplo inteiro de 2\pi:
3\pi t + k = 3\pi t + \pi + 2\pi m,\qquad m\in\mathbb{Z}.
Cancelando 3\pi t obtemos
k = \pi + 2\pi m.
Explicação didática: duas funções \operatorname{sen}(\alpha(t)) e \operatorname{sen}(\beta(t)) são idênticas para todo t se os argumentos diferem por 2\pi m (ou, em princípio, se houver a simetria \alpha=\pi-\beta+2\pi m, mas essa segunda possibilidade envolveria termos em t que não se cancelam aqui, portanto é descartada). Assim k é congruente com \pi módulo 2\pi.

Passo 5

Agora escolho o m adequado usando a condição sobre a distância entre pontos e o comprimento de onda. Lembrando que \Delta x=1{,}0\\ \mathrm{m} e a diferença de fase entre os pontos é \Delta\varphi = k\Delta x = k\cdot 1{,}0 = k. Do passo anterior \Delta\varphi=\pi+2\pi m.
Cada valor de m dá um k diferente e, consequentemente, um \lambda diferente:
k=\pi+2\pi m \quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{\pi(1+2m)}=\frac{2}{1+2m}\\ \mathrm{m}.
Calculo alguns casos:
  • m=0: \lambda=\dfrac{2}{1}=2{,}0\\ \mathrm{m}. Aqui \Delta x=1{,}0\\ \mathrm{m}\le\lambda (condição satisfeita).
  • m=1: \lambda=\dfrac{2}{3}\approx0{,}666\\ \mathrm{m}. Aqui \Delta x=1{,}0\\ \mathrm{m}>\lambda (contraria a condição do enunciado).
  • valores de m\ge1 dão \lambda ainda menores; valores de m<0 dão \lambda>2{,}0\\ \mathrm{m} mas geram k negativo ou maior comprimento de onda — o menor valor positivo de k compatível é com m=0.
Pelo enunciado (distância entre pontos não maior que um comprimento de onda) devemos escolher m=0. Portanto
k=\pi\\ \mathrm{rad/m}, \qquad \lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{\pi}=2{,}0\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calculo a frequência f e a velocidade v. Usando \omega=2\pi f:
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{3\pi}{2\pi}=\frac{3}{2}=1{,}5\\ \mathrm{Hz}.
Velocidade de propagação (módulo) por v=f\lambda ou por v=\dfrac{\omega}{k}:
v=f\lambda=1{,}5\times 2{,}0=3{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Como a onda se propaga no sentido negativo de x, a velocidade vetorial ao longo do eixo x vale
\vec{v}=-3{,}0\\ \mathrm{m/s}\\ \hat{\mathbf{x}}.

Passo 7

Escrevo finalmente a equação da onda, usando os parâmetros encontrados A=0{,}2, k=\pi, \omega=3\pi e \varphi_{0}=0:
y(x,t)=0{,}2\operatorname{sen}(\pi x + 3\pi t).
Verificação rápida: em x=0 isso dá 0{,}2\operatorname{sen}(3\pi t) (ok); em x=1{,}0 0{,}2\operatorname{sen}(\pi + 3\pi t)=0{,}2\operatorname{sen}(3\pi t+\pi) (ok).

Resposta

Velocidade de propagação: 3{,}0\\ \mathrm{m/s} no sentido negativo de x (ou v=-3{,}0\\ \mathrm{m/s}).
Comprimento de onda: \lambda=2{,}0\\ \mathrm{m}.
Frequência: f=1{,}5\\ \mathrm{Hz}.
Equação da onda: y(x,t)=0{,}2\operatorname{sen}(\pi x + 3\pi t).

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