Um pulso triangular se propaga como uma onda para a direita com velocidade v=1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\). A equação do pulso no instante \(t=0 \mathrm{~s}\) é dada por \[y(x, 0)= \begin{cases}1-|x|, & \text { se }|x| \leq 1 \mathrm{~m}, \\\\ 0, & \text { se }|x|>1 \mathrm{~m} .\end{cases}
(a) Esboce o gráfico de y(x)\] nos instantes \(t=0,1 e 2 s ; (b) esboce o gráfico de y(t) para as posições x=-1,0 e 1 m ; (c) escreva a função y(x, t) dessa onda. Resposta: (c) x \rightarrow x-v t.

Passo 1

O enunciado dá um pulso triangular na posição inicial [t=0) e pede três coisas:
  1. (a) Esboçar o gráfico de y(x) nos instantes t=0, t=1 e t=2 s.
  2. (b) Esboçar o gráfico de y(t) nas posições fixas x=-1, x=0 e x=1 m.
  3. (c) Escrever a função y(x,t) da onda que se propaga para a direita com velocidade v=1\\ \mathrm{m/s}.
Informações relevantes do enunciado:
  • A forma inicial do pulso (em t=0) é
y(x,0)= \begin{cases} 1-|x|, & \text{se }|x|\le 1,\\[4pt] 0, & \text{se }|x|>1. \end{cases}
  • A onda se propaga para a direita com velocidade (,v=1\ \mathrm{m/s}.]
  • Não há perda de forma (é um pulso que se desloca sem deformar), portanto a forma triangular inicial se mantém, apenas deslocando-se.]

Passo 2

Intuição e método (aula rápida e amiga):
  • Para uma onda que se desloca rigidamente para a direita com velocidade \,v, a posição de cada ponto do pulso no tempo t é obtida trocando x por x-vt na forma inicial. Isso porque o ponto que estava em x_0 no instante t=0 estará em x = x_0 + vt no tempo t. Inversamente, para saber a amplitude em x no tempo t basta olhar qual era a coordenada x_0 = x-vt no instante 0.
  • Formalmente: se y(x,0)=f(x), então a solução para a onda deslocando-se para a direita é
y(x,t)=f(x-vt).
  • Aqui f(x) é a função triangular dada no enunciado. Como v=1, a substituição fica x \mapsto x-t.

Passo 3

Escrever y(x,t)\) explicitamente usando a forma inicial: - A função inicial \(f(x)=y(x,0)\) é \[f(x)= \begin{cases} 1-|x|, & \text{se }|x|\le 1,\\[4pt] 0, & \text{se }|x|>1. \end{cases}
  • Aplicando a regra da tradução x\mapsto x-vt\] com \[v=1 obtemos
y(x,t)=f(x-t)= \begin{cases} 1-|x-t|, & \text{se }|x-t|\le 1,\\[4pt] 0, & \text{se }|x-t|>1. \end{cases}
  • Interpretação geométrica: no instante t\] o pulso ocupa o intervalo \[\{x:\\ |x-t|\le 1\} = [\,t-1,\\ t+1\,],\] com ponta esquerda em \(x=t-1, ponta direita em x=t+1 e pico y=1 em x=t.]

Passo 4

Resposta ao item (a) — esboço dos gráficos em t=0,1,2\) (descrição e fórmulas): - Em \(t=0\) (isso vem do enunciado): \[y(x,0)= \begin{cases} 1-|x|, & \text{se }-1\le x\le 1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
Gráfico: triângulo com base em x=-1\] e \[x=1, altura 1 em x=0, decrescendo linear até as bases onde vale 0.
  • Em t=1: aplicar x\mapsto x-1:
y(x,1)= \begin{cases} 1-|x-1|, & \text{se }0\le x\le 2,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Gráfico: o mesmo triângulo, agora deslocado uma unidade para a direita; base em x=0\] e \[x=2, pico y=1 em x=1.
  • Em t=2: aplicar x\mapsto x-2:
y(x,2)= \begin{cases} 1-|x-2|, & \text{se }1\le x\le 3,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Gráfico: triângulo igual, deslocado duas unidades para a direita; base em x=1\] e \(x=3, pico y=1 em x=2.
Observação prática para desenhar: em cada instante o gráfico é um segmento ascendente (reta) da ponta esquerda até o pico e um segmento descendente do pico até a ponta direita, com inclinações \pm 1 (porque a altura varia 1 em distância 1).]

Passo 5

Resposta ao item (b) — [y(t)) nas posições fixas x=-1, x=0 e x=1:
  • Use a expressão geral \;y(x,t)=1-|x-t| quando |x-t|\le 1, senão 0. Para cada x fixo achamos o intervalo de t em que o pulso passa e a forma temporal.
  1. Para x=-1:
y(-1,t)= \begin{cases} 1-| -1 - t| = 1-|t+1|, & \text{se }|t+1|\le 1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Condição |t+1|\le 1\] é \[-2\le t\le 0. Como normalmente consideramos t\ge 0 (instantes futuros a partir de 0), para t\ge 0 temos y(-1,t)=0. Em particular em t=0 vale y(-1,0)=0. Portanto, para t\ge 0:
y(-1,t)=0.
  1. Para x=0:
y(0,t)= \begin{cases} 1-|0-t| = 1-|t|, & \text{se }|t|\le 1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Como t\ge 0\], isso fica \[y(0,t)= \begin{cases} 1-t, & 0\le t\le 1,\\[4pt] 0, & t>1. \end{cases}\] Gráfico em \[t: começa em y(0,0)=1 e decresce linearmente com inclinação -1 até t=1 onde atinge 0, depois permanece 0.
  1. Para x=1:
y(1,t)= \begin{cases} 1-|1-t|, & \text{se }|1-t|\le 1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Condição |1-t|\le 1\] é \[0\le t\le 2. Para 0\le t\le 2 podemos descrever sem valor absoluto:
  • Se 0\le t\le 1 então |1-t|=1-t e y(1,t)=1-(1-t)=t.
  • Se 1\le t\le 2 então |1-t|=t-1 e y(1,t)=1-(t-1)=2-t.
    E para t>2 é zero. Logo
y(1,t)= \begin{cases} t, & 0\le t\le 1,\\[4pt] 2-t, & 1\le t\le 2,\\[4pt] 0, & t>2. \end{cases}
Gráfico em t\]: começa em \(0 em t=0, cresce linearmente até y=1 em t=1, e decresce linearmente a zero em t=2.]

Passo 6

Pequena verificação intuitiva (para te dar confiança):
  • O pulso estava centrado em x=0 em t=0. Como v=1, após 1\\ \mathrm{s} está centrado em x=1 e após 2\\ \mathrm{s} em x=2. Isso bate com os intervalos de suporte e com as formas encontradas acima para (a) e (b).
  • As inclinações ±1 nas retas do triângulo vêm do fato da função inicial ser 1-|x|; derivada por trecho é \pm(-1) que dá inclinações \pm 1.

Resposta

(a) Em [t=0): triângulo com base em x=-1 e x=1 e pico y=1 em x=0.
Em t=1: triângulo igual deslocado para a direita, base em x=0 e x=2, pico y=1 em x=1.
Em t=2: triângulo igual deslocado mais, base em x=1 e x=3, pico y=1 em x=2.
(b) Para x=-1:
y(-1,t)=0\quad(\text{para }t\ge 0).
Para x=0:
y(0,t)= \begin{cases} 1-t, & 0\le t\le 1,\\[4pt] 0, & t>1. \end{cases}
Para (x=1]:
y(1,t)= \begin{cases} t, & 0\le t\le 1,\\[4pt] 2-t, & 1\le t\le 2,\\[4pt] 0, & t>2. \end{cases}
(c)
y(x,t)= \begin{cases} 1-|x-t|, & \text{se }|x-t|\le 1,\\[4pt] 0, & \text{se }|x-t|>1. \end{cases}]

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