Relacione as propriedades apresentadas com o tipo de oscilador estudado.
Oscila com o período da força externa.
Amplitude cai lentamente, sendo movimento aproximadamente periódico.
Amplitude depende da frequência da força externa.
Energia mecânica média decai exponencialmente
Energia mecânica oscila em torno de um valor médio constante
Energia mecânica é conservada
Amplitude constante, determinada pelas condições iniciais.
Período depende apenas da frequência natural do sistema.
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Oscilação forçada amortecida na fase transiente
Oscilação harmônica simples
Oscilação fracamente amortecida
Oscilação amortecida supercrítica
Oscilação forçada amortecida na fase estacionária
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Passo 1

O enunciado pede para relacionar cada uma das propriedades listadas com o tipo de oscilador apropriado (escolher qual tipo apresenta aquela propriedade). As propriedades fornecidas são (vou numerar para facilitar a referência):
  1. Oscila com o período da força externa.
  2. Amplitude cai lentamente, sendo movimento aproximadamente periódico.
  3. Amplitude depende da frequência da força externa.
  4. Energia mecânica média decai exponencialmente.
  5. Energia mecânica oscila em torno de um valor médio constante.
  6. Energia mecânica é conservada.
  7. Amplitude constante, determinada pelas condições iniciais.
  8. Período depende apenas da frequência natural do sistema.
Os tipos de oscilador disponíveis (opções a relacionar) são:
  • Oscilação forçada amortecida na fase transiente
  • Oscilação harmônica simples
  • Oscilação fracamente amortecida
  • Oscilação amortecida supercrítica
  • Oscilação forçada amortecida na fase estacionária
A partir daqui vou, passo a passo, explicar cada tipo e justificar qual(is) propriedade(s) combinam melhor com cada um.

Passo 2

Breve modelo e conceitos que vamos usar (sem pular etapas).
O modelo geral para um oscilador massa-mola amortecido com força externa é descrito pela equação
m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F_0\cos(\omega t),
onde:
  • m é a massa,
  • c é o coeficiente de amortecimento (arrasto),
  • k é a constante elástica da mola,
  • F_0 é a amplitude da força externa e \omega a frequência angular da força externa,
  • x(t) é a posição como função do tempo, e \dot{x}, \ddot{x} são velocidade e aceleração.
Definições importantes:
  • A frequência natural angular do sistema sem amortecimento é \omega_0=\sqrt{k/m}.
  • A razão de amortecimento (adimensional) é \zeta=\dfrac{c}{2\sqrt{km}}.
  • Para \zeta<1 temos regime subamortecido (ou fracamente amortecido): há oscilações cuja amplitude decai exponencialmente.
  • A solução geral tem duas partes: solução homogênea (transiente) que depende de condições iniciais e decai se houver amortecimento, e solução particular (regime forçado estacionário) que oscila com a frequência da força externa.
Vou usar essas ideias para explicar e associar as propriedades.

Passo 3

Oscilação harmônica simples (sem amortecimento, sem força externa). O que ela significa fisicamente e como ver as propriedades.
  • Equação nesse caso: \;m\ddot{x}+kx=0\;. A solução é \;x(t)=A\cos(\omega_0 t+\varphi)\;, com A e \varphi fixados pelas condições iniciais.
  • Energia mecânica total:
E(t)=\tfrac12 m\dot{x}^2+\tfrac12 k x^2
é constante no tempo (não há perda nem ganho) — energia conservada.
Consequências diretas e ligação com as propriedades:
  • A propriedade 6 “Energia mecânica é conservada” corresponde à Oscilação harmônica simples.
  • A propriedade 7 “Amplitude constante, determinada pelas condições iniciais.” também corresponde à Oscilação harmônica simples: a amplitude A não muda com o tempo.
  • A propriedade 8 “Período depende apenas da frequência natural do sistema.” também é característica da Oscilação harmônica simples: o período T é T = 2\pi/\omega_0, independente de amplitude (no modelo linear).
Resumo: propriedades 6, 7 e 8 → Oscilação harmônica simples.

Passo 4

Oscilação amortecida — regimes e energia.
  • Para c>0 há amortecimento e a solução homogênea (sem força externa) depende de \zeta:
    • \zeta<1: subamortecido (fracamente amortecido) — movimento periódico amortecido, com amplitude decaindo como e^{-\zeta\omega_0 t} e frequência de oscilação \omega_d=\omega_0\sqrt{1-\zeta^2}.
    • \zeta=1: criticamente amortecido — não há oscilações, retorno mais rápido sem oscilar.
    • \zeta>1: subcrítico/sobre-amortecido (amortecimento supercrítico) — não há oscilações, solução é soma de decaimentos exponenciais sem oscilações.
  • Energia em regime livre amortecido: como x e \dot{x} têm fator exponencial, a energia média decai tipicamente exponencialmente. Para o subamortecido, a envoltória da energia decai como E(t)\propto e^{-2\zeta\omega_0 t} (a taxa tem o 2\zeta\omega_0 porque energia é proporcional ao quadrado de amplitude).
Ligação com as propriedades:
  • A propriedade 2 “Amplitude cai lentamente, sendo movimento aproximadamente periódico.” descreve bem uma Oscilação fracamente amortecida ( \zeta<1): ainda existe oscilação (aproximadamente periódica), mas a amplitude diminui com o tempo.
  • A propriedade 4 “Energia mecânica média decai exponencialmente” descreve o comportamento temporal da energia em um oscilador amortecido (tanto subamortecido quanto outros tipos amortecidos): a energia do transiente livre decai exponencialmente. Em termos didáticos, a melhor associação é com a parte transiente amortecida do sistema (a solução homogênea que decai). Portanto essa propriedade conecta-se tanto ao regime amortecido livre quanto à fase transiente de um sistema forçado amortecido.
Resumo: propriedade 2 → Oscilação fracamente amortecida. Propriedade 4 → Oscilação forçada amortecida na fase transiente (ou, de modo geral, à parte homogênea amortecida).

Passo 5

Oscilação forçada amortecida — distinguir transiente e regime estacionário.
  • Quando existe força externa \;F_0\cos(\omega t)\;, a solução inteira é soma de:
    • Transiente (solução homogênea): depende das condições iniciais, decai se c>0. Esse termo se coloca como “fase transiente”.
    • Solução particular: no longo prazo, o sistema se comporta segundo a resposta forçada (regime estacionário), que oscila com a frequência da força externa \omega, e cujo amplitudefunciona segundo a função de resposta em frequência.
  • Resposta em amplitude no regime estacionário (para força F_0\cos(\omega t)):
A(\omega)=\dfrac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}}.
Dessa fórmula fica claro que a amplitude no regime estacionário depende da frequência \omega da força externa.
  • No regime estacionário amortecido, há entrada de energia pela força externa que é dissipada pelo amortecimento; isso gera um balanço estacionário: a energia instantânea oscila, mas existe um valor médio que se mantém constante ao longo do tempo (o que entra por período é o que sai por perda por amortecimento). Assim, a energia mecânica “oscila em torno de um valor médio constante”.
Ligação com as propriedades:
  • Propriedade 1 “Oscila com o período da força externa.” → Oscilação forçada amortecida na fase estacionária (regime estacionário).
  • Propriedade 3 “Amplitude depende da frequência da força externa.” → Oscilação forçada amortecida na fase estacionária (pela fórmula de A(\omega)).
  • Propriedade 5 “Energia mecânica oscila em torno de um valor médio constante.” → Oscilação forçada amortecida na fase estacionária (o balanço entre aporte e dissipação).
Resumo: propriedades 1, 3 e 5 → Oscilação forçada amortecida na fase estacionária.

Passo 6

Sobre a Oscilação amortecida supercrítica (sobreamortecida) e porque nenhuma das propriedades listadas se encaixa exclusivamente nela (e o que seria característico).
  • Em regime supercrítico ( \zeta>1) não há oscilações, a resposta livre é soma de decaimentos exponenciais com diferentes constantes de tempo. Característica chave: não existe período de oscilação. Das propriedades dadas, nenhuma descreve explicitamente “não oscilatório” — por isso não atribuí uma das frases textuais exclusivamente a este tipo. Entretanto, a propriedade 4 (“Energia mecânica média decai exponencialmente”) também é verdadeira para o regime sobre-amortecido (a energia decai exponencialmente), então ela pode ser aplicada de forma geral a qualquer regime amortecido. Mas para fins de correspondência direta didática eu preferi associar 4 com a fase transiente amortecida, já que o enunciado separa claramente “fase transiente” e “fase estacionária”.

Passo 7

Recapitulando a associação final (justificadas passo a passo acima). Vou apresentar as relações propriedade → tipo de oscilador de forma direta e sem desenvolvimentos (para você conferir rápido na prova). Se quiser, posso reorganizar para ter uma correspondência estritamente um-para-um entre todas as opções, mas a associação abaixo é a mais natural fisicamente e a que você deve lembrar.

Resposta

Oscila com o período da força externa. → Oscilação forçada amortecida na fase estacionária
Amplitude cai lentamente, sendo movimento aproximadamente periódico. → Oscilação fracamente amortecida
Amplitude depende da frequência da força externa. → Oscilação forçada amortecida na fase estacionária
Energia mecânica média decai exponencialmente → Oscilação forçada amortecida na fase transiente
Energia mecânica oscila em torno de um valor médio constante → Oscilação forçada amortecida na fase estacionária
Energia mecânica é conservada → Oscilação harmônica simples
Amplitude constante, determinada pelas condições iniciais. → Oscilação harmônica simples
Período depende apenas da frequência natural do sistema. → Oscilação harmônica simples

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