Qual é a velocidade de um satélite de 280 kg em uma órbita aproximadamente circular 822 km acima da superficie da Terra? Expresse sua resposta em km/s.
Resposta: □

Passo 1

O enunciado pede a velocidade de um satélite de 280\\ \mathrm{kg} em uma órbita aproximadamente circular a 822\\ \mathrm{km} acima da superfície da Terra.
Informações dadas e o que precisamos usar:
  • Massa do satélite: 280\\ \mathrm{kg} (dado).
  • Altitude da órbita acima da superfície: 822\\ \mathrm{km} (dado).
  • Precisamos encontrar a velocidade orbital em \mathrm{km/s}.
    Observação importante: a massa do satélite não altera a velocidade orbital de uma órbita circular (vou mostrar por quê nos próximos passos).

Passo 2

Vamos deduzir a fórmula da velocidade orbital de uma órbita circular de forma bem direta e didática. A ideia é igualar a força centrípeta necessária para manter o satélite em movimento circular com a força gravitacional que a Terra exerce sobre ele.
A força centrípeta tem expressão
F_{\text{cent}} = \frac{m v^{2}}{r},
onde:
  • m é a massa do satélite ( 280\\ \mathrm{kg} no enunciado),
  • v é a velocidade orbital que queremos,
  • r é o raio da órbita medida do centro da Terra até o satélite (a soma do raio da Terra com a altitude).
A força gravitacional é dada por a lei da gravitação universal:
F_{\text{grav}} = G\frac{M m}{r^{2}},
onde:
  • G é a constante gravitacional ( 6{,}67430\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-1}}),
  • M é a massa da Terra (aprox. 5{,}97219\times10^{24}\\ \mathrm{kg}),
  • m é a massa do satélite (mesma que acima),
  • r é o mesmo raio da órbita.
Igualando F_{\text{cent}}=F_{\text{grav}}:
\frac{m v^{2}}{r} = G\frac{M m}{r^{2}}.
Podemos cancelar m dos dois lados (por isso a massa do satélite não importa) e simplificar:
v^{2} = \frac{G M}{r},
portanto a velocidade orbital em órbita circular é
v = \sqrt{\frac{G M}{r}}.
Aqui v tem unidades de \mathrm{m/s} se usarmos G em \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-1}}, M em \mathrm{kg} e r em \mathrm{m}.

Passo 3

Escolhemos valores numéricos práticos para as constantes (valores padrão usados em cálculos orbitais):
G = 6{,}67430\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-1}},
M = 5{,}97219\times10^{24}\\ \mathrm{kg}.
Em vez de multiplicar G por M toda vez, é comum usar o parâmetro gravitacional da Terra
\mu = G M \approx 3{,}986004418\times10^{14}\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-2}}.
Vou usar \mu para simplificar os cálculos.
Também precisamos do raio da Terra para obter r. Adotamos o raio médio da Terra
R_{\oplus} = 6{,}371\\ \mathrm{km}.

Passo 4

Converter a altitude e calcular o raio da órbita r.
A altitude dada é
h = 822\\ \mathrm{km} = 822\,000\\ \mathrm{m}.
O raio da órbita medido do centro da Terra é
r = R_{\oplus} + h = 6{,}371\\ \mathrm{km} + 822\\ \mathrm{km} = 7{,}193\\ \mathrm{km}.
Convertendo para metros:
r = 7{,}193\\ \mathrm{km} = 7{,}193\times10^{3}\\ \mathrm{m}\times10^{3} = 7{,}193\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
(ou simplesmente r = 7{,}193\times10^{6}\\ \mathrm{m}.)

Passo 5

Agora substituímos na fórmula usando \mu:
v = \sqrt{\frac{\mu}{r}}.
Substituindo os valores numéricos (todos em unidades SI):
v = \sqrt{\frac{3{,}986004418\times10^{14}\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-2}}}{7{,}193\times10^{6}\\ \mathrm{m}}}.
Calcule o quociente dentro da raiz:
\frac{3{,}986004418\times10^{14}}{7{,}193\times10^{6}} \approx 5{,}5415\times10^{7}\\ \mathrm{m^{2}\,s^{-2}}.
Agora a raiz:
v \approx \sqrt{5{,}5415\times10^{7}}\\ \mathrm{m/s} \approx 7{,}444\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Converter para \mathrm{km/s} (dividindo por 1000):
v \approx 7{,}444\\ \mathrm{km/s}.
Arredondando de forma razoável para duas casas decimais (suficiente para uma resposta de prova):
v \approx 7{,}44\\ \mathrm{km/s}.
Pequeno comentário encorajador: deu trabalho, mas o truque principal era lembrar da fórmula v=\sqrt{GM/r} e converter tudo para metros e segundos — pronto!

Resposta

7{,}44\\ \mathrm{km/s}

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