Qual é a velocidade de um satélite de 280 kg em uma órbita aproximadamente circular 822 km acima da superficie da Terra? Expresse sua resposta em km/s.
Resposta: □
Passo 1
O enunciado pede a velocidade de um satélite de
em uma órbita aproximadamente circular a
acima da superfície da Terra.
Informações dadas e o que precisamos usar:
Informações dadas e o que precisamos usar:
- Massa do satélite:
(dado). - Altitude da órbita acima da superfície:
(dado). - Precisamos encontrar a velocidade orbital em
.
Observação importante: a massa do satélite não altera a velocidade orbital de uma órbita circular (vou mostrar por quê nos próximos passos).
Passo 2
Vamos deduzir a fórmula da velocidade orbital de uma órbita circular de forma bem direta e didática. A ideia é igualar a força centrípeta necessária para manter o satélite em movimento circular com a força gravitacional que a Terra exerce sobre ele.
A força centrípeta tem expressão
onde:
-
é a massa do satélite ( no enunciado), -
é a velocidade orbital que queremos, -
é o raio da órbita medida do centro da Terra até o satélite (a soma do raio da Terra com a altitude).
A força gravitacional é dada por a lei da gravitação universal:
onde:
-
é a constante gravitacional ( ), -
é a massa da Terra (aprox. ), -
é a massa do satélite (mesma que acima), -
é o mesmo raio da órbita.
Igualando
:
Podemos cancelar
dos dois lados (por isso a massa do satélite não importa) e simplificar:
portanto a velocidade orbital em órbita circular é
Aqui
tem unidades de
se usarmos
em
,
em
e
em
.
Passo 3
Escolhemos valores numéricos práticos para as constantes (valores padrão usados em cálculos orbitais):
Em vez de multiplicar
por
toda vez, é comum usar o parâmetro gravitacional da Terra
Vou usar
para simplificar os cálculos.
Também precisamos do raio da Terra para obter
. Adotamos o raio médio da Terra
Passo 4
Converter a altitude e calcular o raio da órbita
.
A altitude dada é
O raio da órbita medido do centro da Terra é
Convertendo para metros:
(ou simplesmente
.)
Passo 5
Agora substituímos na fórmula usando
:
Substituindo os valores numéricos (todos em unidades SI):
Calcule o quociente dentro da raiz:
Agora a raiz:
Passo 6
Converter para
(dividindo por
):
Arredondando de forma razoável para duas casas decimais (suficiente para uma resposta de prova):
Pequeno comentário encorajador: deu trabalho, mas o truque principal era lembrar da fórmula
e converter tudo para metros e segundos — pronto!