O pulso triangular unitário
é definida por
Calcule a transformada de Laplace de
Lambda(t) .
Passo 1
A função
Lambda(t) é um pulso triangular unitário definido por partes, e queremos encontrar sua transformada de Laplace
Pela definição de transformada de Laplace, paras>0 temos
Pela definição de transformada de Laplace, para
Como
Lambda(t)=0 fora de
[0,1] , podemos escrever
Passo 2
Para calcular a primeira integral
I1=2integral0^1/2t e^-st,dt , usamos integração por partes. Seja
então
Logo,
e avaliando de 0 a
1/2 obtemos
Passo 3
Para a segunda integral
I2=integral1/2^1(2-2t)e^-st,dt=2integral1/2^1(1-t)e^-st,dt , fazemos novamente partes ou reconhecemos que
e usamos os resultados anteriores. Após avaliação de 1/2 a 1 chega-se a
Passo 4
Somando
I1+I2 e agrupando os termos,
Observamos que
1-2e^-s/2+e^-s=(1-e^-s/2)^2 .
Passo 5
Portanto, a forma final simplificada é:
LLambda(t)(s)=2s^2l(1-e^-s/2r)^2