O pulso triangular unitário Lambda(t) é definida por
Lambda(t)=cc 0, & t<0 2 t, & 01
Calcule a transformada de Laplace de Lambda(t).

Passo 1

A função Lambda(t) é um pulso triangular unitário definido por partes, e queremos encontrar sua transformada de Laplace
Pela definição de transformada de Laplace, para s>0 temos
LLambda(t)(s)=integral0^inftyLambda(t)e^-st,dt
Como Lambda(t)=0 fora de [0,1], podemos escrever
LLambda(t)(s)=integral0^1/22t,e^-st,dt+integral1/2^1(2-2t)e^-st,dt

Passo 2

Para calcular a primeira integral I1=2integral0^1/2t e^-st,dt, usamos integração por partes. Seja
u=t, dv=e^-st,dt
então
du=dt, v=-1se^-st
Logo,
integral t e^-st,dt=-tse^-st-1s^2e^-st
e avaliando de 0 a 1/2 obtemos
I1=2l[-l(1/2s+1s^2r)e^-s/2+1s^2r] =2s^2-l(1s+2s^2r)e^-s/2

Passo 3

Para a segunda integral I2=integral1/2^1(2-2t)e^-st,dt=2integral1/2^1(1-t)e^-st,dt, fazemos novamente partes ou reconhecemos que
integral(1-t)e^-st,dt=integral e^-st,dt-integral t e^-st,dt
e usamos os resultados anteriores. Após avaliação de 1/2 a 1 chega-se a
I2=2e^-ss^2+e^-s/2s-2e^-s/2s^2

Passo 4

Somando I1+I2 e agrupando os termos,
LLambda(t)(s)=2s^2-4e^-s/2s^2+2e^-ss^2 =2s^2l(1-2e^-s/2+e^-sr)
Observamos que 1-2e^-s/2+e^-s=(1-e^-s/2)^2.

Passo 5

Portanto, a forma final simplificada é: LLambda(t)(s)=2s^2l(1-e^-s/2r)^2

Resposta

LLambda(t)(s)=2s^2l(1-e^-s/2r)^2

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