Um pulso ultracurto tem duração de 9,00 fs e produz luz a um comprimento de onda de 556 nm . Quais são o momento linear e a incerteza do momento linear de um único fóton no pulso? [ 1,19 \times 10^{-27} \mathrm{~kg} . \mathrm{m} / \mathrm{s} ; 1,96 \times 10^{-29} kg.m/s] [3]Exercício 38.23. Pág 227

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para um único fóton que compõe um pulso ultracurto:
  1. O momento linear do fóton.
  2. A incerteza do momento linear do fóton, dada a duração do pulso.
Informações fornecidas:
\text{duração do pulso } \Delta t = 9{,}00\\ \text{fs} = 9{,}00\times 10^{-15}\\ \mathrm{s}çã
\text{comprimento de onda } \lambda = 556\\ \text{nm} = 556\times 10^{-9}\\ \mathrm{m}
Constantes que usaremos (valores numéricos conhecidos):
h = 6{,}62607015\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}, \quad \hbar = \frac{h}{2\pi}=1{,}054571817\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}, \quad c = 3{,}00\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Primeiro vamos achar o momento linear p de um fóton com comprimento de onda \lambda. A relação básica é
p=\frac{h}{\lambda}.
Explicando a fórmula: h é a constante de Planck (unidade Joule-segundo), \lambda é o comprimento de onda do fóton (em metros), e p é o momento linear (em \mathrm{kg\cdot m/s}). A origem desse resultado vem de E=h\nu e da relação relativística para fótons E=pc (como \nu = c/\lambda, tem-se p=h/\lambda).
Substituindo os valores:
\lambda = 556\times 10^{-9}\\ \mathrm{m} = 5{,}56\times 10^{-7}\\ \mathrm{m},
p=\frac{6{,}62607015\times 10^{-34}}{5{,}56\times 10^{-7}}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Agora a divisão:
\frac{6{,}62607015}{5{,}56}\approx 1{,}1917\quad\Rightarrow\quad p\approx 1{,}1917\times 10^{-27}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Arredondando com a precisão adequada:
p \approx 1{,}19\times 10^{-27}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 3

Agora a incerteza do momento linear \Delta p. Um modo directo e comum de estimar \Delta p para um fóton em um pulso de duração \Delta t é usar a relação de incerteza energia-tempo (na forma minimamente permissiva):
\Delta E\,\Delta t \gtrsim \frac{\hbar}{2}.
Aqui \Delta E é a incerteza na energia do fóton, \Delta t é a duração do pulso, e \hbar é a constante de Planck reduzida. Para um fóton, energia e momento estão relacionados por
E = pc \quad\Rightarrow\quad \Delta E = c\,\Delta p.
Assim podemos escrever, tomando a condição de igualdade mínima (caso de incerteza mínima),
\Delta p = \frac{\Delta E}{c} \approx \frac{\hbar}{2c\,\Delta t}.
Explicando: usamos a desigualdade de Heisenberg para energia-tempo na forma prática (igualdade para estimativa mínima) e a relação entre energia e momento para fótons para transformar \Delta E em \Delta p. Isso captura a ideia física: quanto mais curto o pulso ( \Delta t pequeno), maior a dispersão em energia/frequência e, portanto, maior a incerteza no momento.

Passo 4

Substituímos numericamente:
\Delta t = 9{,}00\times 10^{-15}\\ \mathrm{s},\quad \hbar = 1{,}054571817\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},\quad c=3{,}00\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
\Delta p \approx \frac{1{,}054571817\times 10^{-34}}{2\cdot 3{,}00\times 10^{8}\cdot 9{,}00\times 10^{-15}}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Calcule o denominador passo a passo:
2\cdot 3{,}00\times 10^{8}\cdot 9{,}00\times 10^{-15} = 6{,}00\times 10^{8}\cdot 9{,}00\times 10^{-15} = 5{,}4\times 10^{-6}.
Agora a divisão:
\Delta p \approx \frac{1{,}054571817\times 10^{-34}}{5{,}4\times 10^{-6}} \approx 1{,}952\times 10^{-29}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Arredondando adequadamente:
\Delta p \approx 1{,}96\times 10^{-29}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 5

Interpretação final e intuição rápida: o momento do fóton é cerca de 1{,}19\times 10^{-27}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}. Como o pulso é muito curto ( 9\\ \text{fs}), a incerteza temporal grande em frequência/energia implica uma incerteza relativamente grande no momento: \Delta p é cerca de 1{,}96\times 10^{-29}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}. Isso significa que o pulso tem uma largura espectral (em momento) não desprezível em relação ao momento central — é a consequência direta do princípio da incerteza.

Resposta

1{,}19\times 10^{-27}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}
1{,}96\times 10^{-29}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}

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