Um pulso ultracurto tem duração de 9,00 fs e produz luz a um comprimento de onda de 556 nm . Quais são o momento linear e a incerteza do momento linear de um único fóton no pulso? [
kg.m/s] [3]Exercício 38.23. Pág 227
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para um único fóton que compõe um pulso ultracurto:
- O momento linear do fóton.
- A incerteza do momento linear do fóton, dada a duração do pulso.
Informações fornecidas:
Constantes que usaremos (valores numéricos conhecidos):
Passo 2
Primeiro vamos achar o momento linear
de um fóton com comprimento de onda
. A relação básica é
Explicando a fórmula:
é a constante de Planck (unidade Joule-segundo),
é o comprimento de onda do fóton (em metros), e
é o momento linear (em
). A origem desse resultado vem de
e da relação relativística para fótons
(como
, tem-se
).
Substituindo os valores:
Agora a divisão:
Arredondando com a precisão adequada:
Passo 3
Agora a incerteza do momento linear
. Um modo directo e comum de estimar
para um fóton em um pulso de duração
é usar a relação de incerteza energia-tempo (na forma minimamente permissiva):
Aqui
é a incerteza na energia do fóton,
é a duração do pulso, e
é a constante de Planck reduzida. Para um fóton, energia e momento estão relacionados por
Assim podemos escrever, tomando a condição de igualdade mínima (caso de incerteza mínima),
Explicando: usamos a desigualdade de Heisenberg para energia-tempo na forma prática (igualdade para estimativa mínima) e a relação entre energia e momento para fótons para transformar
em
. Isso captura a ideia física: quanto mais curto o pulso (
pequeno), maior a dispersão em energia/frequência e, portanto, maior a incerteza no momento.
Passo 4
Substituímos numericamente:
Calcule o denominador passo a passo:
Agora a divisão:
Arredondando adequadamente:
Passo 5
Interpretação final e intuição rápida: o momento do fóton é cerca de
. Como o pulso é muito curto (
), a incerteza temporal grande em frequência/energia implica uma incerteza relativamente grande no momento:
é cerca de
. Isso significa que o pulso tem uma largura espectral (em momento) não desprezível em relação ao momento central — é a consequência direta do princípio da incerteza.