Um raio X com 0,100 \mathrm{~nm} de comprimento de onda colide com um elétron inicialmente em repouso. O comprimento de onda final do raio X é 0,110 \mathrm{~nm}. [3]Exercício 38.15 . Pág 226 (Adaptada) O índice com (’) indica o parâmetro após a colisão.
Mostre que a energia cinética do elétron após a colisão é dada por:
E_{e}=\operatorname{ch}\left(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda^{\prime}}\right)

Passo 1

O enunciado dá um fóton (raio X) com comprimento de onda inicial \lambda que colide com um elétron inicialmente em repouso. Após a colisão o fóton tem comprimento de onda \lambda'. O índice com (’) indica o parâmetro após a colisão.
A pergunta é: mostrar que a energia cinética do elétron após a colisão é
E_{e}=ch\left(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda'}\right).
Lista de informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • comprimento de onda inicial do fóton: \lambda;
  • comprimento de onda final do fóton: \lambda';
  • elétron inicialmente em repouso;
  • queremos relação entre as energias (energia cinética do elétron e comprimentos de onda).

Passo 2

Primeiro, lembrando a fórmula da energia de um fóton: a energia E de um fóton de frequência \nu é dada por E=h\nu. Como a frequência e o comprimento de onda estão relacionados por \nu=c/\lambda, obtemos a forma útil
E_{\text{fóton}}=\frac{hc}{\lambda}.ó
Aqui h é a constante de Planck e c é a velocidade da luz. Para o fóton antes da colisão usamos \displaystyle \frac{hc}{\lambda} e depois da colisão \displaystyle \frac{hc}{\lambda'}.

Passo 3

Agora a conservação de energia (princípio físico fundamental): energia total inicial = energia total final. Inicialmente há energia do fóton mais a energia do elétron em repouso ( m c^2). Após a colisão temos a energia do fóton com \lambda' mais a energia total do elétron (energia de repouso mais energia cinética). Escrevendo isso:
\frac{hc}{\lambda}+mc^{2}=\frac{hc}{\lambda'}+E_{\text{elétron, total}}.é

Passo 4

Recordando que a energia total do elétron é a soma da energia de repouso mc^{2} e da energia cinética E_{e}, isto é
E_{\text{elétron, total}}=mc^{2}+E_{e}.é
Substituindo na equação de conservação de energia do Passo 3 obtemos
\frac{hc}{\lambda}+mc^{2}=\frac{hc}{\lambda'}+mc^{2}+E_{e}.
Agora podemos cancelar mc^{2} dos dois lados (porque aparece em ambos), ficando apenas a relação entre as energias dos fótons e a energia cinética:
\frac{hc}{\lambda}=\frac{hc}{\lambda'}+E_{e}.

Passo 5

Isolando a energia cinética E_{e} na equação do Passo 4 temos
E_{e}=\frac{hc}{\lambda}-\frac{hc}{\lambda'}.
Fatorando hc obtemos a forma final desejada:
E_{e}=hc\left(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda'}\right).

Resposta

E_{e}=hc\left(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda'}\right)

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