Um raio X com
de comprimento de onda colide com um elétron inicialmente em repouso. O comprimento de onda final do raio X é
. [3]Exercício 38.15 . Pág 226 (Adaptada) O índice com (’) indica o parâmetro após a colisão.
Mostre que a energia cinética do elétron após a colisão é dada por:
Mostre que a energia cinética do elétron após a colisão é dada por:
Passo 1
O enunciado dá um fóton (raio X) com comprimento de onda inicial
que colide com um elétron inicialmente em repouso. Após a colisão o fóton tem comprimento de onda
. O índice com (’) indica o parâmetro após a colisão.
A pergunta é: mostrar que a energia cinética do elétron após a colisão é
A pergunta é: mostrar que a energia cinética do elétron após a colisão é
Lista de informações relevantes dadas pelo enunciado:
- comprimento de onda inicial do fóton:
; - comprimento de onda final do fóton:
; - elétron inicialmente em repouso;
- queremos relação entre as energias (energia cinética do elétron e comprimentos de onda).
Passo 2
Primeiro, lembrando a fórmula da energia de um fóton: a energia
de um fóton de frequência
é dada por
. Como a frequência e o comprimento de onda estão relacionados por
, obtemos a forma útil
Aqui
é a constante de Planck e
é a velocidade da luz. Para o fóton antes da colisão usamos
e depois da colisão
.
Passo 3
Agora a conservação de energia (princípio físico fundamental): energia total inicial = energia total final. Inicialmente há energia do fóton mais a energia do elétron em repouso (
). Após a colisão temos a energia do fóton com
mais a energia total do elétron (energia de repouso mais energia cinética). Escrevendo isso:
Passo 4
Recordando que a energia total do elétron é a soma da energia de repouso
e da energia cinética
, isto é
Substituindo na equação de conservação de energia do Passo 3 obtemos
Agora podemos cancelar
dos dois lados (porque aparece em ambos), ficando apenas a relação entre as energias dos fótons e a energia cinética:
Passo 5
Isolando a energia cinética
na equação do Passo 4 temos
Fatorando
obtemos a forma final desejada: