Os tubos de raios catódicos que geravam a imagem nas primeiras TVs em cores eram fontes de raios X . Se a voltagem aceleradora de um tubo de TV é cerca de 15,0 \mathrm{kV}. [3]Exercício 38.11. Pág 226
(a) Qual é o menor comprimento de onda (em \mathrm{nm}) dos raios X que essa TV pode produzir? \left[\lambda_{\text {mín }}=0,0787 \mathrm{~nm}\right]í
(b) Qual a frequência e a Energia dos rais X emitidos do item anterior? Verifique se realmente se trata de Raios X. [3,8 \times 10^{18} \mathrm{~Hz}; \left.2,5 \times 10^{-15} \mathrm{~J}\right]
(c) Para o efeito fotoelétrico as energias são da ordem de unidades de eV. Qual a energia em eV para estes raios X ? [ 1,5 \times 10^{4} \mathrm{eV} ]
(d) Compare esta energia dos elétrons do efeito fotoelétrico com a energia dos fótons de raio X. Justifique a diferença da ordem de grandeza.

Passo 1

O enunciado dá que a voltagem aceleradora do tubo é 15{,}0\\ \mathrm{kV}. Ele faz quatro perguntas separadas:
(a) qual o menor comprimento de onda dos raios X que a TV pode produzir (em \mathrm{nm});
(b) qual a frequência e a energia (em joules) desse raio X e verificar se é realmente raio X;
(c) qual a energia em \mathrm{eV} desses raios X;
(d) comparar essa energia (dos fótons de raio X) com as energias típicas envolvidas no efeito fotoelétrico e justificar a diferença de ordem de grandeza.
Informações relevantes fornecidas: tensão aceleradora V=15{,}0\\ \mathrm{kV}=1{,}50\times10^{4}\\ \mathrm{V}. Não há mais dados numéricos no enunciado; usaremos constantes físicas conhecidas (explicarei cada escolha e fórmula quando aparecerem).

Passo 2

Entendendo o que gera o menor comprimento de onda: quando um elétron acelerado por uma diferença de potencial V colide e perde toda a sua energia cinética em um único fóton (caso limite), a energia máxima do fóton é igual à energia cinética do elétron. Isso gera o menor comprimento de onda possível na radiação de frenagem (bremsstrahlung). A energia cinética do elétron é eV, onde e é a carga elementar. Portanto usamos a igualdade
eV = \frac{hc}{\lambda_{\min}}.
Aqui h é a constante de Planck, c é a velocidade da luz no vácuo e \lambda_{\min} é o menor comprimento de onda buscado. Explico cada símbolo:
  • e é a carga do elétron, e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • V é a voltagem aceleradora em volts.
  • h é a constante de Planck, h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
  • c é a velocidade da luz, c=2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
    Rearranjando para \lambda_{\min} obtemos:
\lambda_{\min}=\frac{hc}{eV}.

Passo 3

Calculemos numericamente \lambda_{\min}. Primeiro calculo hc e eV:
hc = (6{,}62607015\times10^{-34})(2{,}99792458\times10^{8}) = 1{,}98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
eV = (1{,}602176634\times10^{-19})(1{,}50\times10^{4}) = 2{,}403264951\times10^{-15}\\ \mathrm{J}.
Agora
\lambda_{\min} = \frac{1{,}98644586\times10^{-25}}{2{,}403264951\times10^{-15}} = 8{,}266\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
Converter para nanômetros ( 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m}):
\lambda_{\min} = 8{,}266\times10^{-11}\\ \mathrm{m} = 0{,}08266\\ \mathrm{nm}.
Arredondando com três algarismos significativos (porque V tem três): \lambda_{\min}\approx 0{,}0827\\ \mathrm{nm}.

Passo 4

Calculemos a frequência associada ao menor comprimento de onda usando a relação básica da onda eletromagnética:
f=\frac{c}{\lambda}.
Usando \lambda_{\min}=8{,}266\times10^{-11}\\ \mathrm{m},
f=\frac{2{,}99792458\times10^{8}}{8{,}266\times10^{-11}} = 3{,}63\times10^{18}\\ \mathrm{Hz}.
Agora a energia do fóton em joules pode ser obtida por E=hf ou diretamente por E=\dfrac{hc}{\lambda}. Usando E=eV (consistência com a energia do elétron), já tínhamos
E = eV = 2{,}403264951\times10^{-15}\\ \mathrm{J}\approx 2{,}40\times10^{-15}\\ \mathrm{J}.
Verificação se é raio X: raios X têm comprimentos de onda típicos na faixa aproximada 10^{-11} a 10^{-8}\\ \mathrm{m} (ou 0{,}01 a 10\\ \mathrm{nm}). Nosso \lambda_{\min}=0{,}0827\\ \mathrm{nm} está dentro dessa faixa, então é realmente radiação de raio X.

Passo 5

Converter a energia para elétron-volts ( \mathrm{eV}). Lembrando que 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}. Assim
E(\mathrm{eV})=\frac{E(\mathrm{J})}{1{,}602176634\times10^{-19}}=\frac{2{,}403264951\times10^{-15}}{1{,}602176634\times10^{-19}}=1{,}500\times10^{4}\\ \mathrm{eV}.
Ou seja, E\approx 1{,}50\times10^{4}\\ \mathrm{eV}=15{,}0\\ \mathrm{keV}.

Passo 6

Comparação com energias do efeito fotoelétrico e justificativa da diferença de ordem de grandeza. As energias típicas envolvidas no efeito fotoelétrico (com fótons visíveis ou ultravioleta) são da ordem de unidades de \mathrm{eV} (por exemplo, luz visível \sim 1{,}5 a 3{,}5\\ \mathrm{eV}; função trabalho de metais \sim 2 a 5\\ \mathrm{eV}). Aqui temos fótons de raio X com energia \sim 1{,}5\times10^{4}\\ \mathrm{eV}. A razão típica é
\frac{1{,}5\times10^{4}\\ \mathrm{eV}}{5\\ \mathrm{eV}}\approx 3{,}0\times10^{3},
ou seja, os fótons de raio X são cerca de milhares de vezes mais energéticos. Justificativa física simples e direta: no tubo de TV os elétrons são acelerados por tensões da ordem de 15{,}0\\ \mathrm{kV}, de modo que sua energia cinética é da ordem de 15\\ \mathrm{keV} — assim, quando há emissão de raios X por frenagem ou transições de elétrons internos, os fótons podem ter energias nessa escala. No efeito fotoelétrico típico de laboratório/provas, usa-se luz visível/UV com energias muito menores (alguns \mathrm{eV}), porque o processo busca apenas vencer a função trabalho ou as energias de ligação dos elétrons, que são bem menores que os keV gerados por elétrons altamente acelerados. Portanto a diferença de ordem de grandeza vem da diferença nas energias envolvidas nas duas situações: tensão aceleradora alta (keV) versus fótons de rotina no fotoelétrico (eV).

Resposta

(a) \lambda_{\min}=0{,}0827\\ \mathrm{nm}\n
(b) f=3{,}63\times10^{18}\\ \mathrm{Hz}; E=2{,}40\times10^{-15}\\ \mathrm{J} (sim, é raio X)\n
(c) E=1{,}50\times10^{4}\\ \mathrm{eV}\n
(d) A energia dos fótons de raio X ( \sim 1{,}5\times10^{4}\\ \mathrm{eV}) é cerca de 3{,}0\times10^{3} vezes maior que energias típicas do efeito fotoelétrico (alguns \mathrm{eV}); isso ocorre porque no tubo os elétrons são acelerados por 15{,}0\\ \mathrm{kV} (energia \sim15\\ \mathrm{keV}), enquanto o fotoelétrico usual envolve fótons visíveis/UV com energias da ordem de unidades de \mathrm{eV}.

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