6- Com Pyton, determinar o polinomio de grau 4 que interpola os pontos ( -1,2 ), ( 0,3 ), (1,5),(4,-2),(5,8). Além disso, plotar o gráfico da interpolação.
Passo 1
O que o enunciado pede:
Determinar o polinômio de grau 4 que interpola os pontos (-1,2), (0,3), (1,5), (4,-2), (5,8).
Plotar o gráfico dessa interpolação usando Python.
O objetivo final concreto: encontrar os coeficientes do polinômio \displaystyle p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4 que satisfaz \displaystyle p(x_i)=y_i para cada par (x_i,y_i) acima, e mostrar um código Python que plote esse polinômio.
Passo 2
Escolha de método e ideia básica (explicação didática):
Uma forma direta e ensinável de achar o polinômio interpolador é escrever o sistema linear gerado ao exigir que p(x_i)=y_i. Esse sistema usa a “matriz de Vandermonde”.
A ideia: para cada ponto (x_i,y_i) temos
a_0+a_1x_i+a_2x_i^2+a_3x_i^3+a_4x_i^4 = y_i.
Juntando as cinco equações obtemos um sistema linear V\mathbf{a}=\mathbf{y}, onde \mathbf{a}=(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4)^T e V é a matriz de Vandermonde cujas linhas são [1,x_i,x_i^2,x_i^3,x_i^4].
Vou montar explicitamente essas linhas para os x dados:
Para x=-1 a linha é [1,-1,1,-1,1] com y=2.
Para x=0 a linha é [1,0,0,0,0] com y=3.
Para x=1 a linha é [1,1,1,1,1] com y=5.
Para x=4 a linha é [1,4,16,64,256] com y=-2.
Para x=5 a linha é [1,5,25,125,625] com y=8.
Escrevendo o sistema (cada linha corresponde a uma equação):