Use Lagrange para encontrar as dimensões da caixa retangular com maior volume que pode ser colocada no primeiro octante com três faces nos planos coordenados e um vértice no plano
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as dimensões da caixa retangular com maior volume que pode ser colocada no primeiro octante, com três faces nos planos coordenados e com um vértice no plano
.
Informações dadas e o que vou usar:
Informações dadas e o que vou usar:
- A caixa tem um vértice na origem e o vértice oposto em
com . - O vértice oposto satisfaz a equação do plano
. - O volume da caixa é
.
A tarefa é maximizarsujeito à restrição .
Passo 2
Defino as funções que vamos trabalhar:
- Função objetivo (volume):
. - Restrição (condição do vértice no plano):
.
Explicando: aqui, , são as arestas da caixa ao longo dos eixos , e . Queremos o maior valor possível de quando está no subconjunto dado por com .
Passo 3
Vou usar o método dos multiplicadores de Lagrange (o enunciado pediu isso). Ideia principal: em um ponto interior onde
tem máximo sob a restrição
, os gradientes de
e
são proporcionais — existe um escalar
tal que
.
Constrói-se a função de Lagrange:
Constrói-se a função de Lagrange:
Aqui
é o multiplicador de Lagrange; ele ajusta a influência da restrição. Para extremos condicionados, anulamos as derivadas parciais de
em relação a
e também impomos a restrição
.
Passo 4
Calculo as derivadas parciais e escrevo o sistema (cada expressão está igual a zero):
Explique o que cada equação significa: por exemplo
dá
, que relaciona as variáveis pelo multiplicador.
Passo 5
Das três primeiras equações obtenho três expressões para
:
Igualando as primeiras duas (
) e supondo
(se
o volume seria zero, não máximo positivo), cancelo
e obtenho
Igualando a segunda e a terceira (
) e supondo
, cancelo
e obtenho
Passo 6
Agora substituo
e
na restrição
:
Calculo passo a passo:
, e
. Então a soma é
. Assim
Com
obtemos
Passo 7
Verificação rápida de que esse ponto é o máximo:
- O conjunto factível
é compacto (fechado e limitado), e é contínuo, logo atinge máximo nesse conjunto. - Nas faces do primeiro octante onde algum dos
o volume é zero. Nosso ponto interior tem volume positivo , portanto é um candidato melhor que qualquer ponto de fronteira. Como é o único ponto crítico interior encontrado pelos multiplicadores, ele fornece o máximo global.
Resposta
Volume máximo