Mostre que:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas: a expressão que depende de
e
e o ponto de aproximação
. O objetivo declarado é mostrar que esse limite vale
(mas nós vamos verificar isso, porque às vezes o enunciado pode induzir a um erro e precisamos checar com cuidado).
Passo 2
Primeiro passo algébrico útil: racionalizar o denominador usando o conjugado. Vou multiplicar numerador e denominador por
. Esta é uma técnica padrão quando aparece algo como
, porque
Aplicando com
, obtemos:
Simplificando o denominador,
Passo 3
Agora observe que, para estudar o limite quando
, uma técnica rápida e poderosa é verificar o valor da expressão ao longo de diferentes caminhos de aproximação (por exemplo,
,
,
, etc.). Se encontramos dois caminhos que dão limites diferentes, o limite total não existe. Vou calcular primeiro ao longo de
.
Tomando
e
na expressão racionalizada:
Como
,
. Logo o limite ao longo de
é
Portanto, ao longo da reta
a expressão tende a
.
Passo 4
Agora calcule ao longo de
. Substituindo
e fazendo
na expressão original (ou na forma racionalizada):
Quando
,
. Então o limite ao longo de
é
Portanto, ao longo da reta
a expressão tende a
.
Passo 5
Já temos dois caminhos com limites diferentes: pela reta
o limite é
, e pela reta
o limite é
. Isso já é suficiente para concluir que o limite quando
não existe globalmente. Ainda assim, para ficar mais didático, vou calcular o limite ao longo da família de retas
(com
fixo), para ver como o valor depende do caminho.
Substitua
na forma racionalizada:
Agora faça
. A função
é contínua, então
Portanto o limite ao longo de
vale
Isto mostra explicitamente que o valor do limite depende de
. Por exemplo,
dá
(coincide com Passo 3) e tomar o caminho vertical (equivalente a
ou diretamente
) dá
(coincide com Passo 4). Para valores intermediários de
obtemos valores entre
e
.
Passo 6
Conclusão lógica: como encontramos caminhos que levam a valores diferentes do limite (pelo menos
e
), o limite
não pode existir. Portanto a afirmação do enunciado de que o limite vale
é falsa — o limite não existe porque depende do caminho de aproximação.
Resposta
O limite não existe.