Mostre que: \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+2 y^{2}+1}-1}=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+2y^{2}+1}-1}.
Informações dadas: a expressão que depende de x e y e o ponto de aproximação (0,0). O objetivo declarado é mostrar que esse limite vale 2 (mas nós vamos verificar isso, porque às vezes o enunciado pode induzir a um erro e precisamos checar com cuidado).

Passo 2

Primeiro passo algébrico útil: racionalizar o denominador usando o conjugado. Vou multiplicar numerador e denominador por \sqrt{x^{2}+2y^{2}+1}+1. Esta é uma técnica padrão quando aparece algo como \sqrt{\cdot}-1, porque
\big(\sqrt{A}-1\big)\big(\sqrt{A}+1\big)=A-1.
Aplicando com A=x^{2}+2y^{2}+1, obtemos:
\frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+2y^{2}+1}-1} = \frac{(x^{2}+y^{2})\big(\sqrt{x^{2}+2y^{2}+1}+1\big)}{x^{2}+2y^{2}+1-1}.
Simplificando o denominador,
\frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+2y^{2}+1}-1} = \frac{(x^{2}+y^{2})\big(\sqrt{x^{2}+2y^{2}+1}+1\big)}{x^{2}+2y^{2}}.

Passo 3

Agora observe que, para estudar o limite quando (x,y)\to(0,0), uma técnica rápida e poderosa é verificar o valor da expressão ao longo de diferentes caminhos de aproximação (por exemplo, y=0, x=0, y=mx, etc.). Se encontramos dois caminhos que dão limites diferentes, o limite total não existe. Vou calcular primeiro ao longo de y=0.
Tomando y=0 e x\to 0 na expressão racionalizada:
\frac{(x^{2}+0)\big(\sqrt{x^{2}+0+1}+1\big)}{x^{2}+0} = \sqrt{x^{2}+1}+1.
Como x\to 0, \sqrt{x^{2}+1}\to 1. Logo o limite ao longo de y=0 é
\lim_{x\to 0} \big(\sqrt{x^{2}+1}+1\big)=1+1=2.
Portanto, ao longo da reta y=0 a expressão tende a 2.

Passo 4

Agora calcule ao longo de x=0. Substituindo x=0 e fazendo y\to 0 na expressão original (ou na forma racionalizada):
\frac{(0+y^{2})\big(\sqrt{0+2y^{2}+1}+1\big)}{0+2y^{2}} = \frac{y^{2}}{2y^{2}}\big(\sqrt{1+2y^{2}}+1\big) = \frac{1}{2}\big(\sqrt{1+2y^{2}}+1\big).
Quando y\to 0, \sqrt{1+2y^{2}}\to 1. Então o limite ao longo de x=0 é
\frac{1}{2}(1+1)=1.
Portanto, ao longo da reta x=0 a expressão tende a 1.

Passo 5

Já temos dois caminhos com limites diferentes: pela reta y=0 o limite é 2, e pela reta x=0 o limite é 1. Isso já é suficiente para concluir que o limite quando (x,y)\to(0,0) não existe globalmente. Ainda assim, para ficar mais didático, vou calcular o limite ao longo da família de retas y=mx (com m fixo), para ver como o valor depende do caminho.
Substitua y=mx na forma racionalizada:
\frac{(x^{2}+m^{2}x^{2})\big(\sqrt{1+x^{2}(1+2m^{2})}+1\big)}{x^{2}+2m^{2}x^{2}} = \frac{(1+m^{2})\big(\sqrt{1+x^{2}(1+2m^{2})}+1\big)}{1+2m^{2}}.
Agora faça x\to 0. A função \sqrt{\cdot} é contínua, então
\sqrt{1+x^{2}(1+2m^{2})}\to \sqrt{1}=1.
Portanto o limite ao longo de y=mx vale
\lim_{x\to 0} \frac{(1+m^{2})\big(\sqrt{1+x^{2}(1+2m^{2})}+1\big)}{1+2m^{2}} = \frac{(1+m^{2})(1+1)}{1+2m^{2}} = \frac{2(1+m^{2})}{1+2m^{2}}.
Isto mostra explicitamente que o valor do limite depende de m. Por exemplo, m=0 2 (coincide com Passo 3) e tomar o caminho vertical (equivalente a m\to\infty ou diretamente x=0) dá 1 (coincide com Passo 4). Para valores intermediários de m obtemos valores entre 1 e 2.

Passo 6

Conclusão lógica: como encontramos caminhos que levam a valores diferentes do limite (pelo menos 1 e 2), o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+2y^{2}+1}-1}
não pode existir. Portanto a afirmação do enunciado de que o limite vale 2 é falsa — o limite não existe porque depende do caminho de aproximação.

Resposta

O limite não existe.

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