Se Q=[0,1] \times[1,2] calcular o valor da integral dupla
\iint_{Q}(x+y)^{3} d x d y .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{Q}(x+y)^{3}\,dx\,dy
onde o domínio Q é o retângulo \;Q=[0,1]\times[1,2].
Informações relevantes fornecidas:
O integrando é (x+y)^{3}.
O domínio de integração Q é o produto dos intervalos \;x\in[0,1] e \;y\in[1,2].
Trata‑se de uma função polinomial (logo contínua) no retângulo Q.
Passo 2
Estratégia (explicada de forma simples): como a função é contínua em um retângulo, podemos usar a propriedade que permite calcular a integral dupla por integrais iteradas (uma integral em x e depois em y, ou vice‑versa). Vou integrar primeiro em x (com y tratado como constante) porque isso fica direto ao usar uma antiderivada simples de (x+y)^{3}.
Lembrete rápido de conceito usado: se g(x,y) é contínua em um retângulo, então
Para integrar em x, y é constante. A antiderivada de (x+y)^{3} em relação a x é \dfrac{(x+y)^{4}}{4}, pois derivando \dfrac{(x+y)^{4}}{4} em relação a x obtemos (x+y)^{3} (a derivada interna de x+y em relação a x é 1).
A antiderivada de (1+y)^{4} em relação a y é \dfrac{(1+y)^{5}}{5}. A antiderivada de y^{4} é \dfrac{y^{5}}{5}. Portanto a antiderivada do integrando completo é