Se Q=[0,1] \times[1,2] calcular o valor da integral dupla
\iint_{Q}(x+y)^{3} d x d y .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{Q}(x+y)^{3}\,dx\,dy
onde o domínio Q é o retângulo \;Q=[0,1]\times[1,2].
Informações relevantes fornecidas:
  • O integrando é (x+y)^{3}.
  • O domínio de integração Q é o produto dos intervalos \;x\in[0,1] e \;y\in[1,2].
  • Trata‑se de uma função polinomial (logo contínua) no retângulo Q.

Passo 2

Estratégia (explicada de forma simples): como a função é contínua em um retângulo, podemos usar a propriedade que permite calcular a integral dupla por integrais iteradas (uma integral em x e depois em y, ou vice‑versa). Vou integrar primeiro em x (com y tratado como constante) porque isso fica direto ao usar uma antiderivada simples de (x+y)^{3}.
Lembrete rápido de conceito usado: se g(x,y) é contínua em um retângulo, então
\iint_{Q} g(x,y)\,dx\,dy = \int_{y_1}^{y_2}\left(\int_{x_1}^{x_2} g(x,y)\,dx\right)dy.
Aqui x_1=0,\;x_2=1,\;y_1=1,\;y_2=2.

Passo 3

Calcular a integral interna em x:
\int_{0}^{1} (x+y)^{3}\,dx.
Para integrar em x, y é constante. A antiderivada de (x+y)^{3} em relação a x é \dfrac{(x+y)^{4}}{4}, pois derivando \dfrac{(x+y)^{4}}{4} em relação a x obtemos (x+y)^{3} (a derivada interna de x+y em relação a x é 1).
Logo
\int_{0}^{1} (x+y)^{3}\,dx = \left.\dfrac{(x+y)^{4}}{4}\right|_{x=0}^{x=1} = \dfrac{(1+y)^{4}-y^{4}}{4}.

Passo 4

Agora integramos o resultado em y de 1 a 2:
\int_{1}^{2} \dfrac{(1+y)^{4}-y^{4}}{4}\,dy = \dfrac{1}{4}\int_{1}^{2}\bigl((1+y)^{4}-y^{4}\bigr)\,dy.
A antiderivada de (1+y)^{4} em relação a y é \dfrac{(1+y)^{5}}{5}. A antiderivada de y^{4} é \dfrac{y^{5}}{5}. Portanto a antiderivada do integrando completo é
\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{(1+y)^{5}-y^{5}}{5} = \dfrac{(1+y)^{5}-y^{5}}{20}.
Avaliando entre y=1 e y=2:
\left.\dfrac{(1+y)^{5}-y^{5}}{20}\right|_{1}^{2} = \dfrac{(3)^{5}-(2)^{5}}{20} - \dfrac{(2)^{5}-(1)^{5}}{20}.
Calculemos os poderes:
3^{5}=243,\qquad 2^{5}=32,\qquad 1^{5}=1.
Substituindo:
\dfrac{243-32}{20} - \dfrac{32-1}{20} = \dfrac{211}{20} - \dfrac{31}{20} = \dfrac{180}{20} = 9.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, mas bom para fixar): expandir o integrando e integrar termo a termo.
(x+y)^{3} = x^{3} + 3x^{2}y + 3xy^{2} + y^{3}.
Integrando em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1}(x+y)^{3}dx = \frac{1}{4} + y + \frac{3}{2}y^{2} + y^{3}.
Agora integrar em y de 1 a 2:
\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{4} + y + \frac{3}{2}y^{2} + y^{3}\right)dy = \frac{1}{4} + \frac{3}{2} + \frac{7}{2} + \frac{15}{4} = 9,
confirmando o resultado.

Resposta

9

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