Q. 03 Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.
,
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas: a expressão é uma função de
cujo numerador é
e o denominador é
. O objetivo é calcular esse limite quando
tende a
.
Passo 2
Fatorar o numerador para simplificar a expressão. Observa-se que há um fator comum
, então
Substituindo na fração:
Passo 3
Reescrever a fração como produto de fatores que lembram limites fundamentais. Podemos escrever
Essa forma é útil porque conhecemos limites relacionados a
e a
.
Passo 4
Lembrar e justificar os limites fundamentais que vamos usar.
- É um fato clássico (padrão em cálculo) que
Intuição: para pequenos
,
se comporta como
; formalmente isto pode ser mostrado geometricamente ou por séries.
- Usar a identidade trigonométrica
Então
Como
, tomando
obtemos
Passo 5
A partir do resultado do passo anterior, avaliaremos
. Observe que
Sabendo que
, tem-se
Passo 6
Agora voltamos à fatoração do Passo 3:
Tomando limite em
e usando os resultados:
obtemos que o produto tende a
. Logo o limite pedido é
.
Passo 7
(check rápido por aproximação) Para ver de outro ângulo, usar aproximações para pequenos
:
e
. Então o numerador
, e dividindo por
obtemos
. Isso confirma o resultado anterior.