Q. 03 Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} x-\cos x \operatorname{sen} x}{x^{2}},

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{sen}x-\cos x\operatorname{sen}x}{x^{2}}.
Informações dadas: a expressão é uma função de x cujo numerador é \operatorname{sen}x-\cos x\operatorname{sen}x e o denominador é x^{2}. O objetivo é calcular esse limite quando x tende a 0.

Passo 2

Fatorar o numerador para simplificar a expressão. Observa-se que há um fator comum \operatorname{sen}x, então
\operatorname{sen}x-\cos x\operatorname{sen}x=\operatorname{sen}x\bigl(1-\cos x\bigr).
Substituindo na fração:
\frac{\operatorname{sen}x-\cos x\operatorname{sen}x}{x^{2}}=\frac{\operatorname{sen}x\bigl(1-\cos x\bigr)}{x^{2}}.

Passo 3

Reescrever a fração como produto de fatores que lembram limites fundamentais. Podemos escrever
\frac{\operatorname{sen}x\bigl(1-\cos x\bigr)}{x^{2}} = \left(\frac{\operatorname{sen}x}{x}\right)\left(\frac{1-\cos x}{x}\right).
Essa forma é útil porque conhecemos limites relacionados a \frac{\operatorname{sen}x}{x} e a \frac{1-\cos x}{x^{2}}.

Passo 4

Lembrar e justificar os limites fundamentais que vamos usar.
  1. É um fato clássico (padrão em cálculo) que
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1.
Intuição: para pequenos x, \operatorname{sen}x se comporta como x; formalmente isto pode ser mostrado geometricamente ou por séries.
  1. Usar a identidade trigonométrica
1-\cos x = 2\operatorname{sen}^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right).
Então
\frac{1-\cos x}{x^{2}} = \frac{2\operatorname{sen}^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right)}{x^{2}} = \frac{1}{2}\left(\frac{\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}}\right)^{2}.
Como \lim_{u\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}u}{u}=1, tomando u=\dfrac{x}{2} obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac{1}{2}.

Passo 5

A partir do resultado do passo anterior, avaliaremos \dfrac{1-\cos x}{x}. Observe que
\frac{1-\cos x}{x} = x\cdot\frac{1-\cos x}{x^{2}}.
Sabendo que \lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^{2}}=\dfrac{1}{2}, tem-se
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x} = \lim_{x\to 0} x\cdot\frac{1-\cos x}{x^{2}} = \left(\lim_{x\to 0} x\right)\left(\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}\right) = 0\cdot\frac{1}{2}=0.

Passo 6

Agora voltamos à fatoração do Passo 3:
\frac{\operatorname{sen}x\bigl(1-\cos x\bigr)}{x^{2}} = \left(\frac{\operatorname{sen}x}{x}\right)\left(\frac{1-\cos x}{x}\right).
Tomando limite em x\to 0 e usando os resultados:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=0,
obtemos que o produto tende a 1\cdot 0=0. Logo o limite pedido é 0.

Passo 7

(check rápido por aproximação) Para ver de outro ângulo, usar aproximações para pequenos x: \operatorname{sen}x\approx x e 1-\cos x\approx \dfrac{x^{2}}{2}. Então o numerador \operatorname{sen}x(1-\cos x)\approx x\cdot\dfrac{x^{2}}{2}=\dfrac{x^{3}}{2}, e dividindo por x^{2} obtemos \dfrac{x}{2}\to 0. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

0

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