Q. 01 Determine cada limite:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^{1 / x}+1}{2^{1 / x}-1},

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to0}\frac{2^{1/x}+1}{2^{1/x}-1}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão contém 2^{1/x}, ou seja, uma exponencial cujo expoente é 1/x.
  • Ao nos aproximarmos de x=0, a quantidade 1/x não tende a um número finito: tende a +\infty quando x\to0^+ e a -\infty quando x\to0^-.
    O enunciado pede o limite bilateral em x\to0. Como 1/x se comporta de forma diferente pela direita e pela esquerda, é necessário considerar os limites laterais.

Passo 2

Fazer a mudança de variável que deixa o comportamento no infinito explícito. Seja \;t=\dfrac{1}{x}\;. Então:
  • Quando x\to0^+ temos t\to+\infty.
  • Quando x\to0^- temos t\to-\infty.
Sob essa substituição a expressão fica
\frac{2^{1/x}+1}{2^{1/x}-1}=\frac{2^{t}+1}{2^{t}-1},
e o problema reduz-se a calcular \lim_{t\to+\infty}\dfrac{2^{t}+1}{2^{t}-1} e \lim_{t\to-\infty}\dfrac{2^{t}+1}{2^{t}-1}.

Passo 3

Cálculo do limite pela direita ( x\to0^+, isto é t\to+\infty).
Propriedade usada: para base 2>1, \;2^{t}\to+\infty quando t\to+\infty. Para manipular a fração, dividimos numerador e denominador por 2^{t}:
\frac{2^{t}+1}{2^{t}-1}=\frac{1+2^{-t}}{1-2^{-t}}.
Agora, quando t\to+\infty temos 2^{-t}\to0. Portanto
\lim_{t\to+\infty}\frac{1+2^{-t}}{1-2^{-t}}=\frac{1+0}{1-0}=1.
Logo
\lim_{x\to0^+}\frac{2^{1/x}+1}{2^{1/x}-1}=1.

Passo 4

Cálculo do limite pela esquerda ( x\to0^-, isto é t\to-\infty).
Propriedade usada: para base 2>0, \;2^{t}\to0^{+} quando t\to-\infty. Assim, substituindo diretamente o valor limite de 2^{t} na fração,
\lim_{t\to-\infty}\frac{2^{t}+1}{2^{t}-1}=\frac{0+1}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1.
Portanto
\lim_{x\to0^-}\frac{2^{1/x}+1}{2^{1/x}-1}=-1.

Passo 5

Conclusão sobre o limite bilateral em x\to0.
Os limites laterais são diferentes:
\lim_{x\to0^+}\frac{2^{1/x}+1}{2^{1/x}-1}=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to0^-}\frac{2^{1/x}+1}{2^{1/x}-1}=-1.
Como os limites laterais não coincidem, o limite bilateral \lim_{x\to0} não existe.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{2^{1/x}+1}{2^{1/x}-1}=1
\displaystyle \lim_{x\to0^-}\frac{2^{1/x}+1}{2^{1/x}-1}=-1
\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{2^{1/x}+1}{2^{1/x}-1}\\ \text{não existe}ã

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