Q. 03 Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.
,
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a zero:
Informações dadas:
- A variável que tende a zero é
. - A expressão a ser avaliada é
.
Passo 2
Vamos relembrar os limites fundamentais que vamos usar e por que eles valem.
- Primeiro limite fundamental:
.
- Aqui
é uma variável que tende a zero. - Intuição/justificativa simples: para ângulos pequenos a medida do arco
e a ordenada ficam muito próximas, portanto e têm mesma ordem quando . Uma forma rígida é usar o teorema do confronto (squeeze): para suficientemente pequeno vale ; como , segue que .
- Limite para a tangente a partir do anterior:
- Novamente
tende a zero. - Sabemos que
e , portanto por propriedades de limites
- Ou seja,
. Esse é o “limite fundamental” para a tangente que usaremos.
Passo 3
Agora transforme a expressão do enunciado para ficar no formato do limite fundamental.
Faça a substituição auxiliar
. Quando
temos
também. Reescrevendo:
Simplificando o denominador:
então
Passo 4
Agora aplique o limite quando
, que é equivalente a
:
Como
é constante, sai do limite:
Pelo limite fundamental que vimos no Passo 2,
. Portanto
Passo 5
Dica rápida para a prova: sempre que aparecer
dividido por
, tente escrever como
. Assim você usa diretamente o limite
. Isso evita contas desnecessárias e é rápido de lembrar.