Q. 03 Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\tan 4 t}{2 t},

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando t tende a zero:
\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\tan 4t}{2t}.
Informações dadas:
  • A variável que tende a zero é t.
  • A expressão a ser avaliada é \dfrac{\tan 4t}{2t}.

Passo 2

Vamos relembrar os limites fundamentais que vamos usar e por que eles valem.
  1. Primeiro limite fundamental: \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
  • Aqui x é uma variável que tende a zero.
  • Intuição/justificativa simples: para ângulos pequenos a medida do arco x e a ordenada \sin x ficam muito próximas, portanto \sin x e x têm mesma ordem quando x\to0. Uma forma rígida é usar o teorema do confronto (squeeze): para x>0 suficientemente pequeno vale \cos x \le \dfrac{\sin x}{x}\le 1; como \lim_{x\to0}\cos x=1, segue que \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1.
  1. Limite para a tangente a partir do anterior:
\frac{\tan x}{x}=\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}.
  • Novamente x tende a zero.
  • Sabemos que \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 e \displaystyle\lim_{x\to0}\cos x=1, portanto por propriedades de limites
\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1\cdot\frac{1}{1}=1.
  • Ou seja, \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1. Esse é o “limite fundamental” para a tangente que usaremos.

Passo 3

Agora transforme a expressão do enunciado para ficar no formato do limite fundamental.
Faça a substituição auxiliar u=4t. Quando t\to 0 temos u\to 0 também. Reescrevendo:
\frac{\tan 4t}{2t}=\frac{\tan u}{2\cdot (u/4)}.
Simplificando o denominador:
2\cdot\frac{u}{4}=\frac{u}{2},
então
\frac{\tan 4t}{2t}=\frac{\tan u}{u/2}=2\cdot\frac{\tan u}{u}.

Passo 4

Agora aplique o limite quando t\to0, que é equivalente a u\to0:
\lim_{t\to0}\frac{\tan 4t}{2t}=\lim_{u\to0} 2\cdot\frac{\tan u}{u}.
Como 2 é constante, sai do limite:
=2\cdot\lim_{u\to0}\frac{\tan u}{u}.
Pelo limite fundamental que vimos no Passo 2, \displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\tan u}{u}=1. Portanto
\lim_{t\to0}\frac{\tan 4t}{2t}=2\cdot 1=2.

Passo 5

Dica rápida para a prova: sempre que aparecer \tan(k t) dividido por t, tente escrever como \dfrac{\tan(k t)}{k t}\cdot k. Assim você usa diretamente o limite \dfrac{\tan x}{x}\to1. Isso evita contas desnecessárias e é rápido de lembrar.

Resposta

2

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