Q 111 Derive cada uma das funções abaixo:
f(x)=(5 x^3+2 x)^3(x-x^2)^2;

Passo 1

O enunciado pede para derivar
f(x)=l(5x^3+2xr)^3,l(x-x^2r)^2
Aqui vamos usar a regra do produto (para dois fatores) e, em cada fator, a regra da cadeia (para potências de funções).

Passo 2

Definimos
u(x)=l(5x^3+2xr)^3, v(x)=l(x-x^2r)^2,
de modo que f(x)=u(x),v(x). Pela regra do produto:
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 3

Calculamos u'(x) aplicando a regra da cadeia a u(x)=w(x)^3 com w(x)=5x^3+2x.
A derivada é
u'(x)=3,l(5x^3+2xr)^2cdot w'(x) e w'(x)=15x^2+2
Logo
u'(x)=3,(5x^3+2x)^2,(15x^2+2)

Passo 4

Calculamos v'(x) aplicando a regra da cadeia a v(x)=z(x)^2 com z(x)=x-x^2.
Temos
v'(x)=2,l(x-x^2r)cdot z'(x) e z'(x)=1-2x
Logo
v'(x)=2,(x-x^2),(1-2x)

Passo 5

Substituindo em f'(x)=u'v+u,v', obtemos
f'(x)=l[3,(5x^3+2x)^2,(15x^2+2)r],(x-x^2)^2 +,(5x^3+2x)^3,l[2,(x-x^2),(1-2x)r]

Passo 6

Para simplificar, fatoramos o máximo comum, que é (5x^3+2x)^2,(x-x^2):
f'(x)=(5x^3+2x)^2,(x-x^2) l 3,(15x^2+2),(x-x^2)+2,(5x^3+2x),(1-2x) r

Resposta

f'(x)=(5x^3+2x)^2,(x-x^2) l[ 3,(15x^2+2),(x-x^2)+2,(5x^3+2x),(1-2x) r]

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