1.2O Seja f(x, y)=exp [-1 /(x^2+y^2)] se (x, y) neq(0,0) e f(0,0)=0. Verifique que f é contínua em todo ponto (x, y) do R^2 e calcule os limites:
lim De<a x 0 f(De<a x, 0)De<a x e lim De<a y 0 f(0, De<a y)De<a y

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= expl[-1/(x^2+y^2)r],&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
pede para verificar que f é contínua em todo R^2 e para calcular
limDe<a xto0f(De<a x,0)De<a x e limDe<a yto0f(0,De<a y)De<a y
Vamos usar continuidade de composições, coordenadas polares no ponto (0,0) e o fato de que a exponencial decai mais rápido que qualquer potência.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) temos
f(x,y)=expl[-1/(x^2+y^2)r],
que é composição de funções polinomiais em (x,y) (que são contínuas) e da função exp, também contínua. Logo, f é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Em (0,0) usamos coordenadas polares: seja r=raizx^2+y^2. Para (x,y)neq(0,0) escrevemos
f(x,y)=expl[-1/r^2r]
Quando rto0, -1/r^2to -infty e portanto
expl[-1/r^2r]to0
Como f(0,0)=0, isso mostra lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0), ou seja, f é contínua também em (0,0).

Passo 4

Para a primeira limite tomamos De<a y=0. Se De<a xneq0 então
f(De<a x,0)=expl[-1/(De<a x)^2r]
O quociente é
f(De<a x,0)De<a x =expl[-1/(De<a x)^2r]De<a x
Para ver que isso tende a zero note-se que, definindo s=1/|De<a x|, quando De<a xto0 temos sto+infty e
|f(De<a x,0)De<a x| =exp(-s^2)1/s =s,e^-s^2
Mas limstoinftys,e^-s^2=0. Logo
limDe<a xto0f(De<a x,0)De<a x=0

Passo 5

O mesmo raciocínio vale para o segundo limite, trocando De<a x por De<a y. Ou seja, para De<a x=0 e De<a yneq0
f(0,De<a y)De<a y =expl[-1/(De<a y)^2r]De<a y
também se anula no limite De<a yto0 por decaimento super-rápido da exponencial.

Resposta

limDe<a xto0f(De<a x,0)De<a x=0, limDe<a yto0f(0,De<a y)De<a y=0

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