1.2O Seja
se
e
. Verifique que
é contínua em todo ponto
do
e calcule os limites:
Passo 1
O enunciado define a função
pede para verificar que
f é contínua em todo
R^2 e para calcular
Vamos usar continuidade de composições, coordenadas polares no ponto
(0,0) e o fato de que a exponencial decai mais rápido que qualquer potência.
Passo 2
Para
(x,y)neq(0,0) temos
que é composição de funções polinomiais em
(x,y) (que são contínuas) e da função
exp , também contínua. Logo,
f é contínua em todo ponto
(x,y)neq(0,0) .
Passo 3
Em
(0,0) usamos coordenadas polares: seja
r=raizx^2+y^2 . Para
(x,y)neq(0,0) escrevemos
Quando
rto0 ,
-1/r^2to -infty e portanto
Como
f(0,0)=0 , isso mostra
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0) , ou seja,
f é contínua também em
(0,0) .
Passo 4
Para a primeira limite tomamos
De<a y=0 . Se
De<a xneq0 então
O quociente é
Para ver que isso tende a zero note-se que, definindo
s=1/|De<a x| , quando
De<a xto0 temos
sto+infty e
Mas
limstoinftys,e^-s^2=0 . Logo
Passo 5
O mesmo raciocínio vale para o segundo limite, trocando
De<a x por
De<a y . Ou seja, para
De<a x=0 e
De<a yneq0
também se anula no limite
De<a yto0 por decaimento super-rápido da exponencial.