Q. 5 (25 pontos) Calcule a integral
\int_{C} x y+3 d s
onde C é a curva descrita por C:(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=9, \quad y \geq 1.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha escalar
\int_{C}(x\,y + 3)\,ds
onde C é a semicircunferência de centro (-2,1) e raio 3 com y\ge1.
Conteúdo: integral de linha de função escalar, que exige parametrização de C e uso de
ds = \sqrt{\bigl(\tfrac{dx}{dt}\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{dy}{dt}\bigr)^2}\,dt.

Passo 2

Parametrizamos C\) por \[\begin{cases} x(t) = -2 + 3\cos t,\\\ y(t) = 1 + 3\sin t, \end{cases} \quad t\in[0,\pi],
pois para t\] de \(0 a \pi temos \sin t\ge0, ou seja y\ge1.
Calculamos
\frac{dx}{dt} = -3\sin t,\quad \frac{dy}{dt} = 3\cos t,
logo
ds = \sqrt{(-3\sin t)^2 + (3\cos t)^2}\,dt = 3\,dt.

Passo 3

Expressamos o integrando em função de t:
x(t)\,y(t) = \bigl(-2+3\cos t\bigr)\bigl(1+3\sin t\bigr) = -2 -6\sin t +3\cos t +9\sin t\cos t.
Então
x(t)\,y(t)+3 = 1 -6\sin t +3\cos t +9\sin t\cos t.

Passo 4

A integral vira
\int_{C}(x\,y+3)\,ds = \int_{0}^{\pi}\bigl[x(t)\,y(t)+3\bigr]\cdot 3\,dt = \int_{0}^{\pi}\bigl(3 -18\sin t +9\cos t +27\sin t\cos t\bigr)\,dt.
Calculamos termo a termo:
  1. \displaystyle\int_{0}^{\pi}3\,dt = 3\pi. 2. \displaystyle\int_{0}^{\pi}-18\sin t\,dt =18\bigl[\cos t\bigr]_{0}^{\pi} =18(-1-1)=-36. 3. \displaystyle\int_{0}^{\pi}9\cos t\,dt =9\bigl[\sin t\bigr]_{0}^{\pi}=0. 4. \displaystyle\int_{0}^{\pi}27\sin t\cos t\,dt =\tfrac{27}{2}\int_{0}^{\pi}\sin2t\,dt=0. Somando, obtemos
3\pi -36 + 0 + 0 = 3\pi -36.

Resposta

\,3\pi -36

Exercícios relacionados