Q. 4 (25 pontos) Calcule a integral
onde
é o conjunto dado por
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
O conteúdo é mudança de variável em integrais de área, usando coordenadas elípticas para transformar a meia elipse num semicírculo de raio 1.
Passo 2
Fazemos a mudança
com
Nessa transformação o jacobiano vale
e a região fica exatamente o semicírculo de raio 1 com
.
Passo 3
Na nova variável,
vira
e
. Assim a integral original torna-se
Passo 4
Agrupando as potências de
, escrevemos
Passo 5
Calculamos a parte radial:
Multiplicando por 6 dá
Passo 6
Agora a parte angular: sabemos que
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Passo 7
Multiplicando as duas partes: