Q. 4 (25 pontos) Calcule a integral
\iint_{B} x^{2}+y^{2} d A
onde B é o conjunto dado por B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9} \leq 1, \quad x \geq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{B}(x^{2}+y^{2})\,dA
onde
B=\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid \tfrac{x^{2}}{4}+\tfrac{y^{2}}{9}\le1,\;x\ge0\bigr\}.
O conteúdo é mudança de variável em integrais de área, usando coordenadas elípticas para transformar a meia elipse num semicírculo de raio 1.

Passo 2

Fazemos a mudança
x=2r\cos\theta,\quad y=3r\sin\theta
com
0\le r\le1,\quad -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}.
Nessa transformação o jacobiano vale
\bigl|\det J\bigr|=2\cdot3\,r=6r,
e a região fica exatamente o semicírculo de raio 1 com \cos\theta\ge0.

Passo 3

Na nova variável, x^{2}+y^{2} vira
(2r\cos\theta)^{2}+(3r\sin\theta)^{2} =4r^{2}\cos^{2}\theta+9r^{2}\sin^{2}\theta,
e dA=6r\,dr\,d\theta. Assim a integral original torna-se
\int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{r=0}^{1} \bigl(4r^{2}\cos^{2}\theta+9r^{2}\sin^{2}\theta\bigr)\,6r \,dr\,d\theta.

Passo 4

Agrupando as potências de r, escrevemos
6\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} r^{3}\,\bigl(4\cos^{2}\theta+9\sin^{2}\theta\bigr) \,dr\,d\theta \;=\; 6\Bigl(\int_{0}^{1}r^{3}dr\Bigr) \Bigl(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\!(4\cos^{2}\theta+9\sin^{2}\theta)d\theta\Bigr).

Passo 5

Calculamos a parte radial:
\int_{0}^{1}r^{3}dr=\bigl[\tfrac{r^{4}}{4}\bigr]_{0}^{1}=\tfrac{1}{4}.
Multiplicando por 6 dá
6\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{2}.

Passo 6

Agora a parte angular: sabemos que
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}\theta\,d\theta =\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}\theta\,d\theta =\frac{\pi}{2}.
Logo
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(4\cos^{2}\theta+9\sin^{2}\theta)d\theta =4\cdot\tfrac{\pi}{2}+9\cdot\tfrac{\pi}{2} =\tfrac{13\pi}{2}.

Passo 7

Multiplicando as duas partes:
\tfrac{3}{2}\times\tfrac{13\pi}{2} =\frac{39\pi}{4}.

Resposta

\frac{39\pi}{4}.

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