Q. 3 ( 25 pontos) Verifique que a integral
independe do caminho e calcule seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a integral de linha
é independente do caminho e, em seguida, calcular seu valor. Isso envolve o conceito de campo conservativo e forma diferencial exata em
.
Passo 2
Identificamos
Para checar exatidão, comparamos as derivadas parciais:
Como
em todo o plano, a forma é exata e a integral independe do caminho.
Passo 3
Procuramos uma função potencial
tal que
Integrando
em relação a
:
onde
é uma função a determinar. Derivando em relação a
e igualando a
:
Logo, podemos tomar
Passo 4
Como a integral independe do caminho, vale
Calculando cada termo:
Portanto,