Q. 3 ( 25 pontos) Verifique que a integral
\int_{(1,2)}^{(3,-1)}(2 x+2 y) d x+\left(2 x-3 y^{2}\right) d y
independe do caminho e calcule seu valor.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a integral de linha
\int_{(1,2)}^{(3,-1)}(2x+2y)\,dx + \bigl(2x-3y^2\bigr)\,dy
é independente do caminho e, em seguida, calcular seu valor. Isso envolve o conceito de campo conservativo e forma diferencial exata em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=2x+2y \quad\text{e}\quad Q(x,y)=2x-3y^2.
Para checar exatidão, comparamos as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y} = 2, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} = 2.
Como \partial P/\partial y = \partial Q/\partial x em todo o plano, a forma é exata e a integral independe do caminho.

Passo 3

Procuramos uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = P(x,y) \quad\text{e}\quad \frac{\partial \varphi}{\partial y} = Q(x,y).
Integrando P em relação a x:
\varphi(x,y) = \int (2x+2y)\,dx = x^2 + 2xy + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar. Derivando em relação a y e igualando a Q:
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 2x + h'(y) = 2x - 3y^2 \;\Longrightarrow\; h'(y) = -3y^2 \;\Longrightarrow\; h(y) = -y^3.
Logo, podemos tomar
\varphi(x,y) = x^2 + 2xy - y^3.

Passo 4

Como a integral independe do caminho, vale
\int_{(1,2)}^{(3,-1)}(2x+2y)\,dx + \bigl(2x-3y^2\bigr)\,dy = \varphi(3,-1) - \varphi(1,2).
Calculando cada termo:
\varphi(3,-1) = 3^2 + 2\cdot 3\cdot(-1) - (-1)^3 = 9 - 6 + 1 = 4,
\varphi(1,2) = 1^2 + 2\cdot 1\cdot 2 - 2^3 = 1 + 4 - 8 = -3.
Portanto,
\varphi(3,-1) - \varphi(1,2) = 4 - (-3) = 7.

Resposta

7

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