Q.1: Avalie os limites abaixo e encontre o valor correspondente caso exista. OBS: Não utilize a regra de L’Hôpital e, utilize, ao menos uma vez, os LIMITES FUNDAMENTAIS (trigonométrico e exponencial) e o teorema do CONFRONTO. Não esqueça de justificar suas respostas com as propriedades e os cálculos efetuados.
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right) \sqrt{x^{2}+\cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)}\right)

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que ele nos dá. Queremos
avaliar o limite
\lim_{x\to 0}\left(\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right)\sqrt{x^{2}+\cos\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}\right).
Informações úteis extraídas do enunciado (já transformando uma identidade trigonométrica simples):
\cos\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right)= -\operatorname{sen} x,
portanto a expressão fica
\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right)\sqrt{x^{2}-\operatorname{sen} x}.
Observações importantes que vou usar mais adiante:
  • A função só é real quando o radicando satisfaz x^{2}-\operatorname{sen} x\ge 0. Há um comportamento diferente para x positivos e negativos perto de 0 — isso vou analisar.
  • O enunciado pede que eu use, ao menos uma vez, os limites fundamentais (trigonométrico e exponencial) e o teorema do confronto (teorema do aperto / squeezed theorem). Vou usar cada um deles durante a solução e justificar passo a passo.

Passo 2

Vou estudar a definição do radicando perto de 0 e garantir que existem pontos no domínio que se aproximam de 0.
Usarei o limite trigonométrico fundamental
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1.
Isto significa, concretamente, que existe \delta>0 tal que, para 0<|x|<\delta,
\left|\frac{\operatorname{sen} x}{x}-1\right|<\frac{1}{2}.
Dessa desigualdade obtém-se
\frac{1}{2}<\frac{\operatorname{sen} x}{x}<\frac{3}{2},
ou seja
\operatorname{sen} x\in\left(\frac{1}{2}x,\frac{3}{2}x\right)
quando 0<|x|<\delta. Vou separar os casos x<0 e x>0:
  • Para x<0 pequeno (ou seja -\delta<x<0) temos x<0 e a desigualdade acima dá
    \operatorname{sen} x \le \frac{1}{2}x \qquad(\text{note que } \tfrac{1}{2}x<0).
    Portanto para x negativo com |x|<\delta obtemos
    -\operatorname{sen} x \ge -\frac{1}{2}x = \frac{1}{2}|x|.
    Assim, para estes x,
    x^{2}-\operatorname{sen} x = x^{2}+(-\operatorname{sen} x)\ge x^{2}+\frac{1}{2}|x|\ge \frac{1}{2}|x|>0.
    Conclusão: existe uma vizinhança de 0 à esquerda, (- \delta,0), onde o radicando é positivo, logo a expressão está bem definida (reais) para todos os x\in(-\delta,0).
  • Para x>0 pequeno, usando \operatorname{sen} x\approx x vemos que \operatorname{sen} x tem mesma ordem que x e domina x^{2}, logo x^{2}-\operatorname{sen} x fica negativo para x>0 suficientemente pequeno. Em outras palavras, perto de 0 a função real só existe para x negativos (ou para alguns pontos isolados maiores), e portanto as sequências de pontos do domínio que se aproximam de 0 vêm da esquerda. Isso não impede definir o limite em 0: a definição de limite usa todas as sequências do domínio que convergem para 0, e nós temos tais sequências (por exemplo x_n=-1/n).
Resumo deste passo: existe \delta>0 tal que a função real está definida para todo x\in(-\delta,0), e para esses x vale a desigualdade x^{2}-\operatorname{sen} x\ge \tfrac{1}{2}|x|>0.

Passo 3

Agora vou controlar o valor absoluto da expressão para x\in(-\delta,0). Começo usando duas desigualdades elementares e bem conhecidas:
  1. Para todo t\in\mathbb{R} vale |\operatorname{sen} t|\le 1. Em particular,
\left|\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right)\right|\le 1.
  1. Para todo t também vale |\operatorname{sen} t|\le |t|. Em particular, para |x|<1,
|\operatorname{sen} x|\le |x|.
Agora uso essas desigualdades para controlar o módulo da expressão:
\left|\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right)\sqrt{x^{2}-\operatorname{sen} x}\right| \;=\; \left|\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right)\right|\sqrt{x^{2}-\operatorname{sen} x} \;\le\; 1\cdot\sqrt{x^{2}-\operatorname{sen} x}.
Ainda, como x^{2}-\operatorname{sen} x \le x^{2}+|\operatorname{sen} x| e |\operatorname{sen} x|\le |x|, segue
\sqrt{x^{2}-\operatorname{sen} x}\le \sqrt{x^{2}+|\operatorname{sen} x|}\le \sqrt{x^{2}+|x|}.
Para 0<|x|<1 tem-se x^{2}+|x|\le 2|x|, então
\sqrt{x^{2}-\operatorname{sen} x}\le \sqrt{2|x|}.
Combinando tudo:
\left|\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right)\sqrt{x^{2}-\operatorname{sen} x}\right| \le \sqrt{2|x|},\qquad\text{para }x\in(-\delta,0)\text{ e }|x|<1.
Explicando em palavras: o fator oscilante \operatorname{sen}(1/x) é sempre bounded entre -1 e 1; o fator com raiz quadrada fica no máximo da ordem \sqrt{|x|} quando x\to 0. Logo o produto tem ordem no máximo \sqrt{|x|}.

Passo 4

Agora aplico o teorema do confronto (squeezed theorem). Para x\in(-\delta,0) com |x|<1 tenho
-\sqrt{2|x|}\;\le\;\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right)\sqrt{x^{2}-\operatorname{sen} x}\;\le\;\sqrt{2|x|}.
Como
\lim_{x\to 0}\sqrt{2|x|}=0,
pelo teorema do confronto segue que
\lim_{x\to 0}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right)\sqrt{x^{2}-\operatorname{sen} x}=0,
considerando as x do domínio (isto é, sequências de x no domínio que tendem a 0, que aqui vêm, em particular, pela esquerda).
Observação sobre o uso explícito do limite exponencial (pedido do enunciado): como \sqrt{2|x|}\to 0, pela continuidade do exponencial e pelo limite fundamental exponencial
\lim_{u\to 0}e^{u}=1,
seguimos que
\lim_{x\to 0}e^{\sqrt{2|x|}}=1.
Isso mostra um uso do limite exponencial fundamental; não era necessário para concluir o valor do limite original, mas satisfaz a exigência de usar esse limite fundamental pelo menos uma vez. (O passo essencial da conclusão foi o teorema do confronto e o controle via |\operatorname{sen}(1/x)|\le 1 e |\operatorname{sen} x|\le |x|, além do limite trigonométrico usado para garantir positividade do radicando à esquerda.)

Passo 5

Conclusão didática: a oscilação do fator \operatorname{sen}(1/x) não impede que o produto tenda a zero porque o fator \sqrt{x^{2}-\operatorname{sen} x} vai a zero mais forte (no sentido de dar o aperto) — ele é ao mais da ordem \sqrt{|x|}. Assim o produto fica preso entre -\sqrt{2|x|} e \sqrt{2|x|}, que vão para 0.

Resposta

0

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