Q.6) Uma escada de 5 metros de comprimento está apoiada em uma parede vertical. A base da escada é puxada horizontalmente, afastando-se da parede a uma taxa constante de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Com que velocidade o topo da escada desliza para baixo na parede no instante em que a base da escada está a 3 metros da parede?

Passo 1

O enunciado diz que uma escada de comprimento constante de 5 m está apoiada contra uma parede vertical. A base da escada afasta‐se da parede com velocidade constante de 2 m/s. Precisamos achar a velocidade com que o topo da escada desce na parede no instante em que a base está a 3 m de distância da parede. O conteúdo é taxas relacionadas (derivada implícita de uma equação de geometria).

Passo 2

Denotemos por x(t) a distância da base da escada ao pé da parede e por y(t) a altura do topo da escada na parede. Como a escada tem comprimento 5, temos a relação de Pitágoras:
x^2 + y^2 = 5^2 = 25.
Sabemos que \frac{dx}{dt}=2 m/s e queremos \frac{dy}{dt} quando x=3.

Passo 3

Derivando implicitamente em relação a t, obtemos
2x\,\frac{dx}{dt} + 2y\,\frac{dy}{dt} = 0.
Isolando \frac{dy}{dt},
\frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y}\,\frac{dx}{dt}.

Passo 4

No instante pedido, x=3 m. Da equação x^2+y^2=25 vem
y = \sqrt{25 - 3^2} = \sqrt{16} = 4\text{ m}.
Substituindo em \frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y}\,\frac{dx}{dt},
\frac{dy}{dt} = -\frac{3}{4}\times 2 = -\frac{3}{2}\text{ m/s}.

Resposta

O topo da escada desliza para baixo com velocidade de -\tfrac{3}{2} m/s (ou seja, 1{,}5 m/s para baixo).

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