Investigue a continuidade nos pontos indicados:
(a) f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\operatorname{sen} x & +x=0 \\\\ 0, & x=0\end{array} \right.\) em \(x=0\) (b) \(f(x)=x-|x|\) em \(x=0\). \text{(c)} \(f(x)= \begin{cases}x^{3}-8 & x \neq 2 \\\ x^{2}-4 & x=2 \\\\ 3 & x=2 .\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade em pontos específicos de três funções diferentes. O conceito chave é que uma função f é contínua em x=a se
\lim_{x\to a}f(x)=f(a).
Para cada caso, vamos
  1. Calcular \lim_{x\to a}f(x).
  2. Comparar com o valor f(a).

Passo 2

(a) f(x)=\begin{cases}\sin x,&x\neq0,\\\ 0,&x=0\end{cases} em x=0.
  1. Para x\neq0, \lim_{x\to0}\sin x=0.
  2. O valor da função em 0 é f(0)=0.
    Como
\lim_{x\to0}f(x)=0=f(0),
a função é contínua em x=0.

Passo 3

(b) f(x)=x-|x| em x=0.
  1. Se x>0, então |x|=x e f(x)=x-x=0. Logo \lim_{x\to0^+}f(x)=0.
  2. Se x<0, então |x|=-x e f(x)=x-(-x)=2x. Logo
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}2x=0.
  1. As duas one-sided limits coincidem em 0, e f(0)=0-|0|=0.
    Portanto
\lim_{x\to0}f(x)=0=f(0),
logo f é contínua em x=0.

Passo 4

(c) f(x)=\begin{cases}x^3-8,&x\neq2,\x^2-4,&x=2,\\\ 3,&x=2.\end{cases} em x=2.
  1. Para x\neq2, \lim_{x\to2}(x^3-8)=2^3-8=0.
  2. Em x=2 aparecem duas definições conflitantes:
  • f(2)=2^2-4=0,
  • f(2)=3.
    Isto torna f(2) não-único, ou seja, a “função” não está bem definida em 2.
    Como não há um valor único de f(2), não podemos ter \lim_{x\to2}f(x)=f(2),
    logo f não é contínua em x=2.

Resposta

(a) f é contínua em x=0.
(b) f é contínua em x=0.
(c) f não é contínua em x=2 (definição de f(2) é ambígua).

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