Q.6)
valor de
é igual:
a)
b) 0
c)
d)
e) 2
a)
b) 0
c)
d)
e) 2
Passo 1
O enunciado nos dá a primitiva
e pede o valor de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A integral indefinida é
. - Queremos a diferença entre os valores da primitiva em
e : . - Observação importante (do enunciado): a função
aparece dentro de uma raiz, então para termos valores reais precisamos de (em a raiz de gera singularidade). Assim é um ponto onde a integral definida de até é uma integral imprópria; teremos que verificar convergência.
Passo 2
Estratégia de resolução (técnica que vamos usar): mudança de variável (substituição) para transformar a integral numa forma simples. Vou explicar rapidinho como funciona a regra da substituição:
- Se definirmos uma nova variável
por , então . - Assim uma integral em
pode virar uma integral em substituindo por e trocando por .
No nosso caso a presença dee de sugere usar
Calma, isso é padrão e simplifica muito. Agora calculemos
.
Passo 3
Computando a substituição:
Repare que
, portanto a integral original transforma-se em uma integral em
muito simples:
Agora explico essa nova integral:
. A primitiva de
é
quando
. Aqui
, logo
.
Passo 4
Calcule a primitiva em
:
Voltando à variável
usando
, obtemos uma primitiva explícita:
onde
é a constante de integração. Essa é a forma geral das primitivas da função dada para
.
Passo 5
Agora vamos avaliar a diferença
. Há duas formas: (i) usar a primitiva e avaliar nos pontos, lembrando do cuidado em
(porque
não está definida em
por causa da raiz de
); ou (ii) interpretar diretamente como integral definida imprópria
. As duas dão o mesmo resultado se a integral for convergente. Vou fazer de modo que fique claro:
Usando a primitiva (e tratando
pelo limite à direita):
Portanto, subtraindo:
Passo 6
Só para garantir que a integral imprópria realmente converge (isso explica por que a conta acima faz sentido): ao fazer
numa integral definida de
de
a
, obtemos a integral em
de
a
:
Essa integral é
A integral perto de
converge porque o expoente
; assim a singularidade em
é integrável e o resultado é finito, igual a
.