Q.6) F(x)=\int \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}} d x, 0 valor de F(e)-F(1) é igual:
a) \sqrt{\ln (2)}
b) 0
c) \frac{1}{\sqrt{2}}
d) \frac{2}{e}
e) 2

Passo 1

O enunciado nos dá a primitiva
F(x)=\int \frac{1}{x\sqrt{\ln(x)}}\,dx
e pede o valor de F(e)-F(1).
Informações relevantes fornecidas:
  • A integral indefinida é \displaystyle \int \frac{1}{x\sqrt{\ln(x)}}\,dx.
  • Queremos a diferença entre os valores da primitiva em x=e e x=1: F(e)-F(1).
  • Observação importante (do enunciado): a função \ln(x) aparece dentro de uma raiz, então para termos valores reais precisamos de x>1 (em x=1 a raiz de \ln(1)=0 gera singularidade). Assim x=1 é um ponto onde a integral definida de 1 até e é uma integral imprópria; teremos que verificar convergência.

Passo 2

Estratégia de resolução (técnica que vamos usar): mudança de variável (substituição) para transformar a integral numa forma simples. Vou explicar rapidinho como funciona a regra da substituição:
  • Se definirmos uma nova variável u por u=\varphi(x), então du=\varphi'(x)\,dx.
  • Assim uma integral em x pode virar uma integral em u substituindo dx por du/\varphi'(x) e trocando \varphi(x) por u.
    No nosso caso a presença de \ln(x) e de 1/x sugere usar
u=\ln(x).
Calma, isso é padrão e simplifica muito. Agora calculemos du.

Passo 3

Computando a substituição:
u=\ln(x)\quad\Rightarrow\quad du=\frac{1}{x}\,dx.
Repare que \dfrac{1}{x}\,dx=du, portanto a integral original transforma-se em uma integral em u muito simples:
\int \frac{1}{x\sqrt{\ln(x)}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\,du.
Agora explico essa nova integral: \dfrac{1}{\sqrt{u}}=u^{-1/2}. A primitiva de u^{\alpha} é \dfrac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1} quando \alpha\neq -1. Aqui \alpha=-\tfrac{1}{2}, logo \alpha+1=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Calcule a primitiva em u:
\int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = 2u^{1/2} + C.
Voltando à variável x usando u=\ln(x), obtemos uma primitiva explícita:
F(x)=2\sqrt{\ln(x)} + C,
onde C é a constante de integração. Essa é a forma geral das primitivas da função dada para x>1.

Passo 5

Agora vamos avaliar a diferença F(e)-F(1). Há duas formas: (i) usar a primitiva e avaliar nos pontos, lembrando do cuidado em x=1 (porque F não está definida em x=1 por causa da raiz de \ln(x)); ou (ii) interpretar diretamente como integral definida imprópria \displaystyle \int_{1}^{e}\frac{1}{x\sqrt{\ln(x)}}\,dx. As duas dão o mesmo resultado se a integral for convergente. Vou fazer de modo que fique claro:
Usando a primitiva (e tratando x=1 pelo limite à direita):
F(e)=2\sqrt{\ln(e)}+C=2\sqrt{1}+C=2+C,
\lim_{x\to1^{+}}F(x)=\lim_{x\to1^{+}} \bigl(2\sqrt{\ln(x)}+C\bigr)=2\cdot 0 + C = C.
Portanto, subtraindo:
F(e)-F(1)=\bigl(2+C\bigr)-C=2.

Passo 6

Só para garantir que a integral imprópria realmente converge (isso explica por que a conta acima faz sentido): ao fazer u=\ln(x) numa integral definida de x de 1 a e, obtemos a integral em u de 0 a 1:
\int_{1}^{e}\frac{1}{x\sqrt{\ln(x)}}\,dx = \int_{0}^{1} u^{-1/2}\,du.
Essa integral é
\int_{0}^{1} u^{-1/2}\,du = \left[2u^{1/2}\right]_{0}^{1} = 2\cdot 1 - 2\cdot 0 = 2.
A integral perto de u=0 converge porque o expoente -\tfrac{1}{2}>-1; assim a singularidade em x=1 é integrável e o resultado é finito, igual a 2.

Resposta

2

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