Q.5)
, o valor de
é igual:
a) 0
b)
c)
d)
e)
a) 0
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá a primitiva
e pede o valor de
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A integral indefinida fornecida é
. - Deve-se calcular a diferença entre os valores da primitiva nos pontos
e . - Observe que
aparece dentro de uma raiz e que a derivada de é (isso é importante para a substituição).
Passo 2
Primeiro simplificar o denominador para ver uma forma que facilite substituição:
logo o integrando pode ser reescrito como
Aqui usei a propriedade que permite tirar constantes para fora da integral.
Passo 3
Vamos escolher a substituição natural: tomar
Agora calcule
. Como
, tem-se
Isso é perfeito porque o integrando contém exatamente o fator
.
Passo 4
Fazendo a substituição na integral, usando também a constante
já destacada:
Agora aplicamos a regra básica de integração de potências: para
,
Tomando
obtemos
Passo 5
Simplificando o fator:
Voltando à variável original
(isto é,
), a primitiva geral é
Observação útil: a constante de integração
vai se cancelar quando formos calcular
.
Passo 6
Agora avaliaremos a diferença pedida. Primeiro calcule os logaritmos:
Portanto
Passo 7
(Check rápido) Se derivarmos
obtemos
o que confirma que a primitiva está correta.
Resposta
b)