Q.5) F(x)=\int \frac{\sqrt{\ln (x+1)}}{2 x+2} d x, o valor de F(e-1)-F(0) é igual:
a) 0
b) \frac{1}{3}
c) \frac{e}{6}
d) \sqrt[3]{2}
e) 3 e-1

Passo 1

O enunciado dá a primitiva
F(x)=\int \frac{\sqrt{\ln(x+1)}}{2x+2}\,dx
e pede o valor de F(e-1)-F(0).
Informações relevantes dadas:
  • A integral indefinida fornecida é \displaystyle \int \frac{\sqrt{\ln(x+1)}}{2x+2}\,dx.
  • Deve-se calcular a diferença entre os valores da primitiva nos pontos x=e-1 e x=0.
  • Observe que \ln(x+1) aparece dentro de uma raiz e que a derivada de \ln(x+1) é \dfrac{1}{x+1} (isso é importante para a substituição).

Passo 2

Primeiro simplificar o denominador para ver uma forma que facilite substituição:
2x+2 = 2(x+1),
logo o integrando pode ser reescrito como
\frac{\sqrt{\ln(x+1)}}{2x+2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{\ln(x+1)}}{x+1}.
Aqui usei a propriedade que permite tirar constantes para fora da integral.

Passo 3

Vamos escolher a substituição natural: tomar
t=\ln(x+1).
Agora calcule dt. Como \dfrac{d}{dx}\ln(x+1)=\dfrac{1}{x+1}, tem-se
dt=\frac{1}{x+1}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{x+1}=dt.
Isso é perfeito porque o integrando contém exatamente o fator \dfrac{1}{x+1}\,dx.

Passo 4

Fazendo a substituição na integral, usando também a constante \dfrac{1}{2} já destacada:
\int \frac{\sqrt{\ln(x+1)}}{2x+2}\,dx = \frac{1}{2}\int \sqrt{t}\,dt = \frac{1}{2}\int t^{1/2}\,dt.
Agora aplicamos a regra básica de integração de potências: para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Tomando n=\tfrac{1}{2} obtemos
\frac{1}{2}\int t^{1/2}\,dt = \frac{1}{2}\cdot\frac{t^{3/2}}{3/2}+C.

Passo 5

Simplificando o fator:
\frac{1}{2}\cdot\frac{t^{3/2}}{3/2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}t^{3/2} = \frac{1}{3}t^{3/2}+C.
Voltando à variável original x (isto é, t=\ln(x+1)), a primitiva geral é
F(x)=\frac{1}{3}\left[\ln(x+1)\right]^{3/2}+C.
Observação útil: a constante de integração C vai se cancelar quando formos calcular F(e-1)-F(0).

Passo 6

Agora avaliaremos a diferença pedida. Primeiro calcule os logaritmos:
\ln(e-1+1)=\ln e = 1, \qquad \ln(0+1)=\ln 1 = 0.
Portanto
F(e-1)-F(0)=\frac{1}{3}\left(1\right)^{3/2}-\frac{1}{3}\left(0\right)^{3/2}=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}.

Passo 7

(Check rápido) Se derivarmos F(x)=\dfrac{1}{3}[\ln(x+1)]^{3/2} obtemos
F'(x)=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}[\ln(x+1)]^{1/2}\cdot\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{\ln(x+1)}}{x+1}=\frac{\sqrt{\ln(x+1)}}{2x+2},
o que confirma que a primitiva está correta.

Resposta

b) \dfrac{1}{3}

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