Q.1) F(x)=\int \frac{4 x^{2}+4}{\left(x^{3}+3 x-1\right)^{3}} d x, o valor de F(1)-F(0) é igual:
C) \frac{16}{27}
a) \frac{-11}{27}
b) - \frac{12}{23}
d) \frac{12}{17}
e) 0

Passo 1

O enunciado nos dá a primitiva F(x) de uma função através da integral indefinida
F(x)=\int \frac{4 x^{2}+4}{\left(x^{3}+3 x-1\right)^{3}}\,dx.
Pede-se o valor de F(1)-F(0).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A integranda é \dfrac{4x^{2}+4}{(x^{3}+3x-1)^{3}}.
  • Deseja-se a diferença da primitiva entre x=1 e x=0: F(1)-F(0).
    Não há outras condições ou imagens.

Passo 2

Observação didática (motivação da técnica): quando a integranda tem a forma \dfrac{\text{polinômio}}{(\text{polinômio})^{3}}ôô e o numerador é proporcional à derivada do polinômio do denominador, a substituição u= (polinômio do denominador) costuma simplificar a integral. Aqui o denominador envolve x^{3}+3x-1. Vamos verificar a derivada desse polinômio:
\text{Se }u=x^{3}+3x-1,\text{ então }du=(3x^{2}+3)\,dx=3(x^{2}+1)\,dx.ã
Note que o numerador da integranda é 4x^{2}+4=4(x^{2}+1), que é proporcional a x^{2}+1. Isso indica que a substituição u=x^{3}+3x-1 vai funcionar bem.

Passo 3

Fazer a substituição explicitamente. Com u=x^{3}+3x-1 temos
du=3(x^{2}+1)\,dx \quad\Rightarrow\quad (x^{2}+1)\,dx=\frac{1}{3}\,du.
A integranda original pode ser escrita como
\frac{4x^{2}+4}{(x^{3}+3x-1)^{3}}\,dx = \frac{4(x^{2}+1)}{u^{3}}\,dx.
Substituindo (x^{2}+1)\,dx=\dfrac{1}{3}\,du obtemos a integral em u:
\int \frac{4(x^{2}+1)}{u^{3}}\,dx = \int \frac{4}{u^{3}}\cdot\frac{1}{3}\,du = \frac{4}{3}\int u^{-3}\,du.

Passo 4

Integração de potências (regra usada): para n\neq -1, \displaystyle\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}. Aqui n=-3, então
\int u^{-3}\,du=\frac{u^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2}u^{-2}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{4}{3} que apareceu na substituição:
\frac{4}{3}\int u^{-3}\,du = \frac{4}{3}\left(-\frac{1}{2}u^{-2}\right) = -\frac{2}{3}u^{-2}.

Passo 5

Voltar para a variável x: lembrando que u=x^{3}+3x-1, uma primitiva válida é
F(x)=-\frac{2}{3}\,(x^{3}+3x-1)^{-2}+C = -\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\left(x^{3}+3x-1\right)^{2}}+C.
Como vamos calcular F(1)-F(0), a constante C se cancela, então podemos usar a forma acima sem nos preocupar com C.

Passo 6

Calcular F(1) e F(0) explicitamente:
F(1)=-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\left(1^{3}+3\cdot1-1\right)^{2}}=-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{(1+3-1)^{2}}=-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3^{2}}=-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{9}=-\frac{2}{27}.
F(0)=-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\left(0^{3}+3\cdot0-1\right)^{2}}=-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{(-1)^{2}}=-\frac{2}{3}\cdot1=-\frac{2}{3}.

Passo 7

Agora a diferença:
F(1)-F(0)=\left(-\frac{2}{27}\right)-\left(-\frac{2}{3}\right)=-\frac{2}{27}+\frac{2}{3}.
Colocar em denominador comum 27:
-\frac{2}{27}+\frac{2}{3}=-\frac{2}{27}+\frac{18}{27}=\frac{16}{27}.

Resposta

\dfrac{16}{27}

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