Se
, e
são coordenadas generalizadas ortogonais, mostre que
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pede-se provar a expressão da laplaciana de uma função escalar
escrita em coordenadas generalizadas ortogonais. - Informações fornecidas:
- As coordenadas
são generalizadas e formam um sistema ortogonal. - Os fatores de escala são
, e .
- As coordenadas
- Objetivo explícito: mostrar que
Passo 2
Conceitos e definições essenciais (bem devagar, como numa explicação de prova).
- Vetor posição
. - Definição dos fatores de escala:
Isto diz que o comprimento do vetor tangente ao variar é . - Vetores unitários locais (direções das coordenadas):
Como o sistema é ortogonal, esses são mutuamente ortogonais. - Deslocamento diferencial em função das coordenadas:
Isso significa que o “comprimento” na direção é . - Elemento de volume diferencial:
Explicação curta: o volume do paralelepípedo formado por comprimentos é o produto.
Passo 3
Fórmula do gradiente em coordenadas ortogonais (derivação curta e intuitiva).
- Por definição diferencial total:
- Expandindo
em coordenadas: - Substituindo
e usando ortogonalidade, igualamos componentes e obtemos os componentes do gradiente ao longo de : - Interpretação: a componente física do gradiente na direção
é . Isso faz sentido porque mede variação por unidade de , e o comprimento real correspondente é .
Passo 4
Fórmula da divergência em coordenadas ortogonais (derivação por fluxo através das faces do elemento diferencial).
- Tome um campo vetorial qualquer escrito nas direções
: onde são as componentes físicas (projeções em ). - Considere o pequeno paralelepípedo em
-espaço com lados . A área da face normal a é Similarmente para as outras faces. - Fluxo de
através da face em (na coordenada ) é . Na face oposta em é . A variação total do fluxo na direção 1, expandida em Taylor, é - Repetindo para as três direções e somando, o fluxo líquido saindo do volume é
- Dividindo este fluxo pelo volume
dá a divergência: - Observação didática: aqui usamos que
já é o componente físico (projeção) na direção ; por isso o fluxo através da face é simplesmente vezes a área da face perpendicular.
Passo 5
Aplicar a fórmula da divergência ao gradiente para obter a laplaciana.
- Identificamos
. Pelas componentes do gradiente (Passo 3), - Substituindo esses
na expressão da divergência (Passo 4): - Simplificando cada termo interno (colocando os fatores juntos) obtemos exatamente a forma pedida: