Se q_{1}, q_{2}, e q_{3} são coordenadas generalizadas ortogonais, mostre que
\begin{array}{|l|} \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\nabla} \psi\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right) \\\ =\frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}}\left[\frac{\partial}{\partial q_{1}}\left(\frac{h_{2} h_{3}}{h_{1}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{1}}\right)+\frac{\partial}{\partial q_{2}}\left(\frac{h_{3} h_{1}}{h_{2}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{2}}\right)+\frac{\partial}{\partial q_{3}}\left(\frac{h_{1} h_{2}}{h_{3}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{3}}\right)\right] . \end{array}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede-se provar a expressão da laplaciana de uma função escalar \psi(q_{1},q_{2},q_{3}) escrita em coordenadas generalizadas ortogonais.
  • Informações fornecidas:
    • As coordenadas q_{1},q_{2},q_{3} são generalizadas e formam um sistema ortogonal.
    • Os fatores de escala são h_{1}(q_{1},q_{2},q_{3}), h_{2}(q_{1},q_{2},q_{3}) e h_{3}(q_{1},q_{2},q_{3}).
  • Objetivo explícito: mostrar que
\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{\nabla}\psi =\frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}}\Bigg[\frac{\partial}{\partial q_{1}}\Big(\frac{h_{2} h_{3}}{h_{1}}\frac{\partial\psi}{\partial q_{1}}\Big) +\frac{\partial}{\partial q_{2}}\Big(\frac{h_{3} h_{1}}{h_{2}}\frac{\partial\psi}{\partial q_{2}}\Big) +\frac{\partial}{\partial q_{3}}\Big(\frac{h_{1} h_{2}}{h_{3}}\frac{\partial\psi}{\partial q_{3}}\Big)\Bigg].

Passo 2

Conceitos e definições essenciais (bem devagar, como numa explicação de prova).
  • Vetor posição \mathbf{r}=\mathbf{r}(q_{1},q_{2},q_{3}).
  • Definição dos fatores de escala: h_{i}=\left\lVert\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_{i}}\right\rVert,\qquad i=1,2,3.Isto diz que o comprimento do vetor tangente ao variar q_{i} é h_i\,dq_i.
  • Vetores unitários locais (direções das coordenadas): \hat{e}_{i}=\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_{i}},\qquad i=1,2,3.Como o sistema é ortogonal, esses \hat{e}_i são mutuamente ortogonais.
  • Deslocamento diferencial em função das coordenadas: d\mathbf{r}=\sum_{i=1}^{3} h_{i}\,\hat{e}_{i}\,dq_{i}.Isso significa que o “comprimento” na direção q_i é h_i\,dq_i.
  • Elemento de volume diferencial: dV = h_{1}h_{2}h_{3}\,dq_{1}\,dq_{2}\,dq_{3}.Explicação curta: o volume do paralelepípedo formado por comprimentos h_{1}dq_{1},h_{2}dq_{2},h_{3}dq_{3} é o produto.

Passo 3

Fórmula do gradiente em coordenadas ortogonais (derivação curta e intuitiva).
  • Por definição diferencial total: d\psi=\nabla\psi\cdot d\mathbf{r}.
  • Expandindo d\psi em coordenadas: d\psi=\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial\psi}{\partial q_{i}}\,dq_{i}.
  • Substituindo d\mathbf{r}=\sum_{i} h_{i}\hat{e}_{i}dq_{i} e usando ortogonalidade, igualamos componentes e obtemos os componentes do gradiente ao longo de \hat{e}_i: \nabla\psi=\sum_{i=1}^{3}\hat{e}_{i}\,\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial\psi}{\partial q_{i}}.
  • Interpretação: a componente física do gradiente na direção \hat{e}_i é \dfrac{1}{h_i}\dfrac{\partial\psi}{\partial q_i}. Isso faz sentido porque \partial\psi/\partial q_i mede variação por unidade de q_i, e o comprimento real correspondente é h_i.

Passo 4

Fórmula da divergência em coordenadas ortogonais (derivação por fluxo através das faces do elemento diferencial).
  • Tome um campo vetorial qualquer escrito nas direções \hat{e}_i: \mathbf{A}=A_{1}\,\hat{e}_{1}+A_{2}\,\hat{e}_{2}+A_{3}\,\hat{e}_{3},onde A_i são as componentes físicas (projeções em \hat{e}_i).
  • Considere o pequeno paralelepípedo em q-espaço com lados dq_{1},dq_{2},dq_{3}. A área da face normal a \hat{e}_1 é dA_{1}=h_{2}h_{3}\,dq_{2}\,dq_{3}.Similarmente para as outras faces.
  • Fluxo de \mathbf{A} através da face em q_{1} (na coordenada q_{1}) é A_{1}(q_{1})\,dA_{1}. Na face oposta em q_{1}+dq_{1} é A_{1}(q_{1}+dq_{1})\,dA_{1}'. A variação total do fluxo na direção 1, expandida em Taylor, é \frac{\partial}{\partial q_{1}}\big(h_{2}h_{3}A_{1}\big)\,dq_{1}\,dq_{2}\,dq_{3}.
  • Repetindo para as três direções e somando, o fluxo líquido saindo do volume é \Bigg[\frac{\partial}{\partial q_{1}}\big(h_{2}h_{3}A_{1}\big) +\frac{\partial}{\partial q_{2}}\big(h_{3}h_{1}A_{2}\big) +\frac{\partial}{\partial q_{3}}\big(h_{1}h_{2}A_{3}\big)\Bigg]dq_{1}\,dq_{2}\,dq_{3}.
  • Dividindo este fluxo pelo volume dV=h_{1}h_{2}h_{3}\,dq_{1}\,dq_{2}\,dq_{3} dá a divergência: \nabla\cdot\mathbf{A} =\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\Bigg[\frac{\partial}{\partial q_{1}}\big(h_{2}h_{3}A_{1}\big) +\frac{\partial}{\partial q_{2}}\big(h_{3}h_{1}A_{2}\big) +\frac{\partial}{\partial q_{3}}\big(h_{1}h_{2}A_{3}\big)\Bigg].
  • Observação didática: aqui usamos que A_i já é o componente físico (projeção) na direção \hat{e}_i; por isso o fluxo através da face é simplesmente A_i vezes a área da face perpendicular.

Passo 5

Aplicar a fórmula da divergência ao gradiente para obter a laplaciana.
  • Identificamos \mathbf{A}=\nabla\psi. Pelas componentes do gradiente (Passo 3), A_{i}=\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial\psi}{\partial q_{i}},\qquad i=1,2,3.
  • Substituindo esses A_{i} na expressão da divergência (Passo 4): \nabla\cdot\nabla\psi =\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\Bigg[ \frac{\partial}{\partial q_{1}\!}\Big(h_{2}h_{3}\cdot\frac{1}{h_{1}}\frac{\partial\psi}{\partial q_{1}}\Big) +\frac{\partial}{\partial q_{2}\!}\Big(h_{3}h_{1}\cdot\frac{1}{h_{2}}\frac{\partial\psi}{\partial q_{2}}\Big) +\frac{\partial}{\partial q_{3}\!}\Big(h_{1}h_{2}\cdot\frac{1}{h_{3}}\frac{\partial\psi}{\partial q_{3}}\Big)\Bigg].
  • Simplificando cada termo interno (colocando os fatores juntos) obtemos exatamente a forma pedida: \nabla^{2}\psi =\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\Bigg[ \frac{\partial}{\partial q_{1}}\Big(\frac{h_{2}h_{3}}{h_{1}}\frac{\partial\psi}{\partial q_{1}}\Big) +\frac{\partial}{\partial q_{2}}\Big(\frac{h_{3}h_{1}}{h_{2}}\frac{\partial\psi}{\partial q_{2}}\Big) +\frac{\partial}{\partial q_{3}}\Big(\frac{h_{1}h_{2}}{h_{3}}\frac{\partial\psi}{\partial q_{3}}\Big)\Bigg].

Resposta

\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\nabla} \psi\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right) =\frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}}\left[\frac{\partial}{\partial q_{1}}\left(\frac{h_{2} h_{3}}{h_{1}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{1}}\right)+\frac{\partial}{\partial q_{2}}\left(\frac{h_{3} h_{1}}{h_{2}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{2}}\right)+\frac{\partial}{\partial q_{3}}\left(\frac{h_{1} h_{2}}{h_{3}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{3}}\right)\right].

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