Mostre que a função Delta de Dirac pode ser expressada
em esféricas :
ou
em esféricas :
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a delta de Dirac em três dimensões pode ser escrita nas coordenadas esféricas de duas formas equivalentes:
e
As informações úteis que vou usar (sem resolver ainda): os símbolos
são as coordenadas esféricas padrão do ponto
e
as do ponto
. O objetivo é provar que essas expressões são representações corretas da distribuição
.
Passo 2
Definição operacional da delta de Dirac em 3D (propriedade de “peneiração”): para qualquer função teste suficientemente bem comportada
,
Explicando: essa é a propriedade que define a delta — ao integrar contra qualquer
a delta “pega” o valor de
no ponto
. Essa é a forma como vamos verificar se uma dada expressão realmente representa
.
Também precisamos do elemento de volume em coordenadas esféricas:
Explicando: ao trocar de coordenadas cartesianas para esféricas, o fator
aparece como o determinante jacobiano da transformação — é ele que transforma
em
.
Passo 3
Verificação da primeira forma propondo que
Vou inserir essa expressão na propriedade da delta: calcular
em coordenadas esféricas e mostrar que
.
Passo 4
Substituindo a proposta e o elemento de volume:
Agora simplifica: o fator
do elemento de volume cancela com
da proposta, ficando
Usando a propriedade da delta unidimensional sucessivamente (a “regra da peneiração”):
- integrar em
com dá ; - integrar em
com dá ; - integrar em
com dá .
Logo
. Isso é exatamente a propriedade que define
. Portanto a primeira representação está correta.
Passo 5
Comentário didático sobre por que intuitivamente aparece o fator
: o delta em 3D tem dimensão “1/volume”, então em coordenadas esféricas precisa compensar o elemento de volume
. Assim a delta “distribuída” em
recebe o fator inverso
para que a integral com o elemento de volume produza um valor adimensional (o valor de
em
).
Passo 6
Agora mostramos a segunda forma que usa
em vez de
. Uma ferramenta útil: regra de mudança de variável para a delta unidimensional. Se
é monotônica e invertível localmente e
, então
onde os
são as raízes de
. Um exemplo simples e muito usado: para constante
,
Vamos aplicar isso ao caso
.
Passo 7
Relação entre
e
. Considere a função
. Tem raiz
e derivada
. Aplicando a regra:
Portanto
Observação importante (justificativa prática): quando a delta multiplica uma função e é integrada, a presença da
“força”
, então fatores do tipo
que multiplicam a delta podem ser avaliados em
. Assim, manipulações com
ausente ou presente são válidas sob o sinal de integral desde que se observe esse ponto.
Passo 8
A partir da primeira forma, substitui-se
pela expressão em função de
. Começando de
usa-se
Colocando isso:
Agora, sob o sinal de integral (ou como distribuição), a diferença entre
e
não importa porque a delta que depende de
força
; assim pode-se substituir
por
na expressão multiplicativa. Cancelando
com
e usando essa justificação obtemos
Passo 9
Verificação direta alternativa (pela integral) da segunda forma: inserir
no integral
e usar
. O fator
cancela e resta um fator
multiplicando
. Fazendo a mudança de variável
(logo
) a integral em
com
reduz exatamente a avaliação em
, o que dá
. Isso confirma a correção da segunda forma de maneira direta.