Mostre que a função Delta de Dirac pode ser expressada
em esféricas :
delta\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{\prime}\right)=\frac{1}{r^{2} \operatorname{sen} \theta} \delta\left(r-r^{\prime}\right) \delta\left(\theta-\theta^{\prime}\right) \delta\left(\varphi-\varphi^{\prime}\right)
ou
delta\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{\prime}\right)=\frac{1}{r^{2}} \delta\left(r-r^{\prime}\right) \delta\left(\cos \theta-\cos \theta^{\prime}\right) \delta\left(\varphi-\varphi^{\prime}\right) .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a delta de Dirac em três dimensões pode ser escrita nas coordenadas esféricas de duas formas equivalentes:
\delta\!\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)=\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\,\delta\!\left(r-r'\right)\,\delta\!\left(\theta-\theta'\right)\,\delta\!\left(\varphi-\varphi'\right)
e
\delta\!\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)=\frac{1}{r^{2}}\,\delta\!\left(r-r'\right)\,\delta\!\left(\cos\theta-\cos\theta'\right)\,\delta\!\left(\varphi-\varphi'\right).
As informações úteis que vou usar (sem resolver ainda): os símbolos r,\theta,\varphi são as coordenadas esféricas padrão do ponto \boldsymbol{r} e r',\theta',\varphi' as do ponto \boldsymbol{r}'. O objetivo é provar que essas expressões são representações corretas da distribuição \delta(\boldsymbol r-\boldsymbol r').

Passo 2

Definição operacional da delta de Dirac em 3D (propriedade de “peneiração”): para qualquer função teste suficientemente bem comportada f(\boldsymbol r),
\int f(\boldsymbol r)\,\delta\!\left(\boldsymbol r-\boldsymbol r'\right)\,d^{3}r = f(\boldsymbol r').
Explicando: essa é a propriedade que define a delta — ao integrar contra qualquer f a delta “pega” o valor de f no ponto \boldsymbol r'. Essa é a forma como vamos verificar se uma dada expressão realmente representa \delta(\boldsymbol r-\boldsymbol r').
Também precisamos do elemento de volume em coordenadas esféricas:
d^{3}r = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Explicando: ao trocar de coordenadas cartesianas para esféricas, o fator r^{2}\sin\theta aparece como o determinante jacobiano da transformação — é ele que transforma dx\,dy\,dz em dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 3

Verificação da primeira forma propondo que
\delta\!\left(\boldsymbol r-\boldsymbol r'\right)=\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\,\delta\!\left(r-r'\right)\,\delta\!\left(\theta-\theta'\right)\,\delta\!\left(\varphi-\varphi'\right).
Vou inserir essa expressão na propriedade da delta: calcular
I=\int f(\boldsymbol r)\,\delta\!\left(\boldsymbol r-\boldsymbol r'\right)\,d^{3}r
em coordenadas esféricas e mostrar que I=f(\boldsymbol r').

Passo 4

Substituindo a proposta e o elemento de volume:
I=\int_{0}^{\infty}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{2\pi} f(r,\theta,\varphi)\, \frac{1}{r^{2}\sin\theta}\, \delta\!\left(r-r'\right)\,\delta\!\left(\theta-\theta'\right)\,\delta\!\left(\varphi-\varphi'\right) \,\bigl(r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi\bigr).
Agora simplifica: o fator r^{2}\sin\theta do elemento de volume cancela com 1/(r^{2}\sin\theta) da proposta, ficando
I=\int_{0}^{\infty}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{2\pi} f(r,\theta,\varphi)\, \delta\!\left(r-r'\right)\,\delta\!\left(\theta-\theta'\right)\,\delta\!\left(\varphi-\varphi'\right) \,dr\,d\theta\,d\varphi.
Usando a propriedade da delta unidimensional sucessivamente (a “regra da peneiração”):
  • integrar em \varphi com \delta(\varphi-\varphi') f(r,\theta,\varphi');
  • integrar em \theta com \delta(\theta-\theta') f(r,\theta',\varphi');
  • integrar em r com \delta(r-r') f(r',\theta',\varphi').
Logo I=f(r',\theta',\varphi')=f(\boldsymbol r'). Isso é exatamente a propriedade que define \delta(\boldsymbol r-\boldsymbol r'). Portanto a primeira representação está correta.

Passo 5

Comentário didático sobre por que intuitivamente aparece o fator 1/(r^{2}\sin\theta): o delta em 3D tem dimensão “1/volume”, então em coordenadas esféricas precisa compensar o elemento de volume r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi. Assim a delta “distribuída” em r,\theta,\varphi recebe o fator inverso 1/(r^{2}\sin\theta) para que a integral com o elemento de volume produza um valor adimensional (o valor de f em \boldsymbol r').

Passo 6

Agora mostramos a segunda forma que usa \cos\theta em vez de \theta. Uma ferramenta útil: regra de mudança de variável para a delta unidimensional. Se u=h(x) é monotônica e invertível localmente e h(x_{0})=0, então
\delta\!\bigl(h(x)\bigr)=\sum_{i}\frac{\delta(x-x_{i})}{\left|h'(x_{i})\right|},
onde os x_{i} são as raízes de h(x)=0. Um exemplo simples e muito usado: para constante a\neq0,
\delta(ax)=\frac{1}{|a|}\,\delta(x).
Vamos aplicar isso ao caso u=\cos\theta.

Passo 7

Relação entre \delta(\theta-\theta') e \delta(\cos\theta-\cos\theta'). Considere a função g(\theta)=\cos\theta-\cos\theta'. Tem raiz \theta=\theta' e derivada g'(\theta)=-\sin\theta. Aplicando a regra:
\delta\!\bigl(\cos\theta-\cos\theta'\bigr) =\frac{\delta(\theta-\theta')}{\left|-\sin\theta'\right|} =\frac{\delta(\theta-\theta')}{\sin\theta'}.
Portanto
\delta(\theta-\theta')=\sin\theta'\,\delta\!\bigl(\cos\theta-\cos\theta'\bigr).
Observação importante (justificativa prática): quando a delta multiplica uma função e é integrada, a presença da \delta(\theta-\theta') “força” \theta=\theta', então fatores do tipo \sin\theta que multiplicam a delta podem ser avaliados em \theta'. Assim, manipulações com \sin\theta ausente ou presente são válidas sob o sinal de integral desde que se observe esse ponto.

Passo 8

A partir da primeira forma, substitui-se \delta(\theta-\theta') pela expressão em função de \cos\theta. Começando de
\delta\!\left(\boldsymbol r-\boldsymbol r'\right)=\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\,\delta\!\left(r-r'\right)\,\delta\!\left(\theta-\theta'\right)\,\delta\!\left(\varphi-\varphi'\right),
usa-se
\delta(\theta-\theta')=\sin\theta'\,\delta\!\bigl(\cos\theta-\cos\theta'\bigr).
Colocando isso:
\delta\!\left(\boldsymbol r-\boldsymbol r'\right) =\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\,\delta\!\left(r-r'\right)\,\bigl(\sin\theta'\,\delta(\cos\theta-\cos\theta')\bigr)\,\delta(\varphi-\varphi').
Agora, sob o sinal de integral (ou como distribuição), a diferença entre \sin\theta e \sin\theta' não importa porque a delta que depende de \theta força \theta=\theta'; assim pode-se substituir \sin\theta por \sin\theta' na expressão multiplicativa. Cancelando \sin\theta' com \sin\theta' e usando essa justificação obtemos
\delta\!\left(\boldsymbol r-\boldsymbol r'\right)=\frac{1}{r^{2}}\,\delta\!\left(r-r'\right)\,\delta\!\bigl(\cos\theta-\cos\theta'\bigr)\,\delta\!\left(\varphi-\varphi'\right).

Passo 9

Verificação direta alternativa (pela integral) da segunda forma: inserir
\delta\!\left(\boldsymbol r-\boldsymbol r'\right)=\frac{1}{r^{2}}\,\delta\!\left(r-r'\right)\,\delta\!\bigl(\cos\theta-\cos\theta'\bigr)\,\delta\!\left(\varphi-\varphi'\right)
no integral
\int f(\boldsymbol r)\,\delta(\boldsymbol r-\boldsymbol r')\,d^{3}r
e usar d^{3}r=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi. O fator r^{2} cancela e resta um fator \sin\theta multiplicando \delta(\cos\theta-\cos\theta'). Fazendo a mudança de variável u=\cos\theta (logo du=-\sin\theta\,d\theta) a integral em \theta com \sin\theta\,\delta(\cos\theta-\cos\theta') reduz exatamente a avaliação em u=\cos\theta', o que dá f(r',\theta',\varphi'). Isso confirma a correção da segunda forma de maneira direta.

Resposta

\delta\!\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{\prime}\right)=\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\,\delta\!\left(r-r^{\prime}\right)\,\delta\!\left(\theta-\theta^{\prime}\right)\,\delta\!\left(\varphi-\varphi^{\prime}\right)
\delta\!\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{\prime}\right)=\frac{1}{r^{2}}\,\delta\!\left(r-r^{\prime}\right)\,\delta\!\left(\cos\theta-\cos\theta^{\prime}\right)\,\delta\!\left(\varphi-\varphi^{\prime}\right)

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