Pedido: escrever os vetores unitários cartesianos \hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}},\hat{\mathbf{z}} nas componentes da base esférica \{\hat{\mathbf{r}},\hat{\boldsymbol{\theta}},\hat{\boldsymbol{\varphi}}\}. Ou seja, expressar cada \hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}},\hat{\mathbf{z}} como combinação linear de \hat{\mathbf{r}},\hat{\boldsymbol{\theta}},\hat{\boldsymbol{\varphi}}.
Informações úteis (definições de coordenadas esféricas que vamos usar; pegue estas da geometria padrão):
As coordenadas cartesianas em função das esféricas são
x = r\sin\theta\cos\varphi,\qquad y = r\sin\theta\sin\varphi,\qquad z = r\cos\theta.
O vetor posição é \displaystyle \mathbf{r}=x\hat{\mathbf{x}}+y\hat{\mathbf{y}}+z\hat{\mathbf{z}}=r\hat{\mathbf{r}}.
Objetivo explícito para a resolução: demonstrar, passo a passo, como obter as componentes das bases esférica e cartesiana e então escrever \hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}},\hat{\mathbf{z}} em função de \hat{\mathbf{r}},\hat{\boldsymbol{\theta}},\hat{\boldsymbol{\varphi}}.
Passo 2
Obter a expressão de \hat{\mathbf{r}} na base cartesiana (passo direto e fundamental).
Começo com \mathbf{r}=r\hat{\mathbf{r}} = x\hat{\mathbf{x}}+y\hat{\mathbf{y}}+z\hat{\mathbf{z}}.
Dividindo ambos os lados por r (assumindo r>0) obtemos
Interpretação rápida: \hat{\mathbf{r}} aponta radialmente, então suas componentes cartesianas são exatamente os cossenos diretores indicados acima.
Passo 3
Obter \hat{\boldsymbol{\theta}} e \hat{\boldsymbol{\varphi}} em termos de \hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}},\hat{\mathbf{z}} usando derivadas direcionais (método canônico).
Definição prática: \hat{\boldsymbol{\theta}} é o vetor unitário na direção do aumento de \theta (mantendo r,\varphi fixos), e \hat{\boldsymbol{\varphi}} é o vetor unitário na direção do aumento de \varphi (mantendo r,\theta fixos).
Calculo da derivada de \mathbf{r}=r\hat{\mathbf{r}} em relação a \theta (com r e \varphi fixos):\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta} = r\frac{\partial\hat{\mathbf{r}}}{\partial\theta} = r\big(\cos\theta\cos\varphi\,\hat{\mathbf{x}}+\cos\theta\sin\varphi\,\hat{\mathbf{y}}-\sin\theta\,\hat{\mathbf{z}}\big).Dividindo por r obtém-se o vetor na direção de \theta:\frac{\partial\hat{\mathbf{r}}}{\partial\theta} = \cos\theta\cos\varphi\,\hat{\mathbf{x}}+\cos\theta\sin\varphi\,\hat{\mathbf{y}}-\sin\theta\,\hat{\mathbf{z}}.Esse vetor já tem norma 1 (pode-se verificar), logo identificamos\hat{\boldsymbol{\theta}}=\cos\theta\cos\varphi\,\hat{\mathbf{x}}+\cos\theta\sin\varphi\,\hat{\mathbf{y}}-\sin\theta\,\hat{\mathbf{z}}.(Explicação da normalização: \left|\partial\hat{\mathbf{r}}/\partial\theta\right|=1 porque a base esférica é ortonormal padrão.)
Calculo da derivada em relação a \varphi (com r,\theta fixos):\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\varphi} = r\frac{\partial\hat{\mathbf{r}}}{\partial\varphi} = r\big(-\sin\theta\sin\varphi\,\hat{\mathbf{x}}+\sin\theta\cos\varphi\,\hat{\mathbf{y}}\big).Dividindo por r\sin\theta (para normalizar, pois a magnitude é r\sin\theta) obtemos\hat{\boldsymbol{\varphi}}=-\sin\varphi\,\hat{\mathbf{x}}+\cos\varphi\,\hat{\mathbf{y}}.
Resumo (obtido até aqui): expressões de \hat{\mathbf{r}},\hat{\boldsymbol{\theta}},\hat{\boldsymbol{\varphi}} na base cartesiana:\hat{\mathbf{r}}=\sin\theta\cos\varphi\,\hat{\mathbf{x}}+\sin\theta\sin\varphi\,\hat{\mathbf{y}}+\cos\theta\,\hat{\mathbf{z}},
Converter essas relações para obter \hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}},\hat{\mathbf{z}} como combinações de \hat{\mathbf{r}},\hat{\boldsymbol{\theta}},\hat{\boldsymbol{\varphi}}.
Observação linear: as três relações do Passo 3 formam um sistema linear entre as bases. Como as bases são ortonormais, a matriz que transforma a base esférica na base cartesiana é ortogonal; sua inversa é a sua transposta. Uma forma mais elementar (sem falar de matrizes) é escrever, por exemplo,\hat{\mathbf{x}}=(\hat{\mathbf{x}}\cdot\hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}}+(\hat{\mathbf{x}}\cdot\hat{\boldsymbol{\theta}})\hat{\boldsymbol{\theta}}+(\hat{\mathbf{x}}\cdot\hat{\boldsymbol{\varphi}})\hat{\boldsymbol{\varphi}},porque \{\hat{\mathbf{r}},\hat{\boldsymbol{\theta}},\hat{\boldsymbol{\varphi}}\} é uma base ortonormal.
Calculo dos produtos escalares (usando as componentes do Passo 3):
Logo\hat{\mathbf{x}}=\big(\sin\theta\cos\varphi\big)\hat{\mathbf{r}}+\big(\cos\theta\cos\varphi\big)\hat{\boldsymbol{\theta}}+\big(-\sin\varphi\big)\hat{\boldsymbol{\varphi}}.Reorganizando o sinal no último termo:\hat{\mathbf{x}}=\sin\theta\cos\varphi\,\hat{\mathbf{r}}+\cos\theta\cos\varphi\,\hat{\boldsymbol{\theta}}-\sin\varphi\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}.
Repetindo o mesmo procedimento para \hat{\mathbf{y}}:
Comentário de verificação rápida (opcional, mas reconfortante): essas expressões são exatamente as projeções que se esperam fisicamente; por exemplo, \hat{\mathbf{z}} não tem componente em \hat{\boldsymbol{\varphi}} porque variar \varphi gira em torno do eixo z, sem alterar a componente z.
Passo 5
Resumo didático e dica para lembrar na prova.
Resumo: obtivemos as expressões usando primeiro a representação direta de \hat{\mathbf{r}},\hat{\boldsymbol{\theta}},\hat{\boldsymbol{\varphi}} na base cartesiana (obtida a partir de \mathbf{r}=r\hat{\mathbf{r}} e derivadas parciais), e depois projetamos os vetores cartesianos nessa base ortonormal.
Dica prática para a prova: memorizando as expressões de \hat{\mathbf{r}},\hat{\boldsymbol{\theta}},\hat{\boldsymbol{\varphi}} em termos de \hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}},\hat{\mathbf{z}} (Passo 3) fica fácil obter as inversas por simetria/transpose ou por projeção; isso é rápido e seguro.