Se Q_{1} e Q_{2} são formas quadráticas associadas às formas bilineares simétricas f_{1} e f_{2}, então ( Q_{1}+Q_{2} ) é a forma quadrática associada à soma f_{1}+f_{2} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a pergunta abaixo.
  • Dados: Q_{1} e Q_{2} são formas quadráticas associadas, respectivamente, às formas bilineares simétricas f_{1} e f_{2}. Ou seja, para todo vetor x (num espaço vetorial V sobre um corpo F) vale
Q_{1}(x)=f_{1}(x,x),\qquad Q_{2}(x)=f_{2}(x,x).
  • Pergunta: a forma quadrática Q_{1}+Q_{2} (definida por (Q_{1}+Q_{2})(x)=Q_{1}(x)+Q_{2}(x)) é a forma quadrática associada à soma f_{1}+f_{2} (onde (f_{1}+f_{2})(u,v)=f_{1}(u,v)+f_{2}(u,v))?

Passo 2

Vamos relembrar com calma o que significam os termos usados (isso vai ajudar na prova e deixa tudo claro).
  • Forma bilinear simétrica: uma aplicação f:V\times V\to F é bilinear se for linear em cada argumento (isto é, para quaisquer u,v,w\in V e \alpha,\beta\in F vale f(\alpha u+\beta v,w)=\alpha f(u,w)+\beta f(v,w) e similar na segunda coordenada). É simétrica se f(u,v)=f(v,u) para todos u,v.
  • Forma quadrática associada: dada uma forma bilinear simétrica f, definimos a forma quadrática Q por
Q(x)=f(x,x)\quad\text{para todo }x\in V.
Aqui x é um vetor do espaço V e f(x,x) é um elemento do corpo F.
Essas definições são básicas: quando o enunciado diz que Q_{1} é associada a f_{1}, significa exatamente que Q_{1}(x)=f_{1}(x,x) para todo x.

Passo 3

Agora faço a conta direta que responde à pergunta: para um vetor arbitrário x\in V temos
(Q_{1}+Q_{2})(x)=Q_{1}(x)+Q_{2}(x).
Usando as associações dadas, isso é
(Q_{1}+Q_{2})(x)=f_{1}(x,x)+f_{2}(x,x).
Agrupando a soma no lado direito, escrevemos
(Q_{1}+Q_{2})(x)=(f_{1}+f_{2})(x,x).

Passo 4

Preciso também verificar que f_{1}+f_{2} é de fato uma forma bilinear simétrica (para que a expressão anterior faça sentido como “forma quadrática associada a uma forma bilinear simétrica”).
  • Linearidade: para quaisquer \alpha,\beta\in F e u,v,w\in V,
(f_{1}+f_{2})(\alpha u+\beta v,w)=f_{1}(\alpha u+\beta v,w)+f_{2}(\alpha u+\beta v,w)
Pela bilinearidade de f_{1} e f_{2} cada termo se distribui, então
(f_{1}+f_{2})(\alpha u+\beta v,w)=\alpha f_{1}(u,w)+\beta f_{1}(v,w)+\alpha f_{2}(u,w)+\beta f_{2}(v,w),
que reorganizando é
\alpha(f_{1}+f_{2})(u,w)+\beta(f_{1}+f_{2})(v,w).
Logo é linear na primeira coordenada; a linearidade na segunda é análoga. Portanto f_{1}+f_{2} é bilinear.
  • Simetria: para quaisquer u,v\in V,
(f_{1}+f_{2})(u,v)=f_{1}(u,v)+f_{2}(u,v)=f_{1}(v,u)+f_{2}(v,u)=(f_{1}+f_{2})(v,u),
usando a simetria de f_{1} e f_{2}. Assim f_{1}+f_{2} é simétrica.
Portanto f_{1}+f_{2} é uma forma bilinear simétrica válida.

Passo 5

Juntando os resultados: para todo x\in V mostramos em Passo 3 que
(Q_{1}+Q_{2})(x)=(f_{1}+f_{2})(x,x),
e em Passo 4 que f_{1}+f_{2} é uma forma bilinear simétrica. Isso é exatamente a definição de dizer que Q_{1}+Q_{2} é a forma quadrática associada a f_{1}+f_{2}.
Observação adicional (útil para a prova): se você trabalha sobre um corpo de característica 2, há sutilezas ao recuperar uma forma bilinear simétrica a partir de uma forma quadrática (a correspondência pode não ser bijetora). Mas aqui o enunciado já dá explicitamente f_{1} e f_{2} e pergunta sobre a soma deles; a igualdade demonstrada acima vale independentemente da característica do corpo.

Resposta

Sim. Q_{1}+Q_{2} é a forma quadrática associada a f_{1}+f_{2}.

Exercícios relacionados