Se
e
são formas quadráticas associadas às formas bilineares simétricas
e
, então (
) é a forma quadrática associada à soma
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a pergunta abaixo.
- Dados:
e são formas quadráticas associadas, respectivamente, às formas bilineares simétricas e . Ou seja, para todo vetor (num espaço vetorial sobre um corpo ) vale
- Pergunta: a forma quadrática
(definida por ) é a forma quadrática associada à soma (onde )?
Passo 2
Vamos relembrar com calma o que significam os termos usados (isso vai ajudar na prova e deixa tudo claro).
- Forma bilinear simétrica: uma aplicação
é bilinear se for linear em cada argumento (isto é, para quaisquer e vale e similar na segunda coordenada). É simétrica se para todos . - Forma quadrática associada: dada uma forma bilinear simétrica
, definimos a forma quadrática por
Aqui
é um vetor do espaço
e
é um elemento do corpo
.
Essas definições são básicas: quando o enunciado diz que
é associada a
, significa exatamente que
para todo
.
Passo 3
Agora faço a conta direta que responde à pergunta: para um vetor arbitrário
temos
Usando as associações dadas, isso é
Agrupando a soma no lado direito, escrevemos
Passo 4
Preciso também verificar que
é de fato uma forma bilinear simétrica (para que a expressão anterior faça sentido como “forma quadrática associada a uma forma bilinear simétrica”).
- Linearidade: para quaisquer
e ,
Pela bilinearidade de
e
cada termo se distribui, então
que reorganizando é
Logo é linear na primeira coordenada; a linearidade na segunda é análoga. Portanto
é bilinear.
- Simetria: para quaisquer
,
usando a simetria de
e
. Assim
é simétrica.
Portanto
é uma forma bilinear simétrica válida.
Passo 5
Juntando os resultados: para todo
mostramos em Passo 3 que
e em Passo 4 que
é uma forma bilinear simétrica. Isso é exatamente a definição de dizer que
é a forma quadrática associada a
.
Observação adicional (útil para a prova): se você trabalha sobre um corpo de característica
, há sutilezas ao recuperar uma forma bilinear simétrica a partir de uma forma quadrática (a correspondência pode não ser bijetora). Mas aqui o enunciado já dá explicitamente
e
e pergunta sobre a soma deles; a igualdade demonstrada acima vale independentemente da característica do corpo.
Resposta
Sim.
é a forma quadrática associada a
.