Considere V um \mathbb{R}-espaço vetorial e as formas bilineares f e g sobre V. A função h: V \times V \rightarrow \mathbb{R} tal que h(v, u)=f(v, u)+g(v, u) é uma forma bilinear? É simétrica?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Dado um espaço vetorial real V.
  • Existem formas bilineares f: V\times V\to\mathbb{R} e g: V\times V\to\mathbb{R}.
  • Define-se h: V\times V\to\mathbb{R} por h(v,u)=f(v,u)+g(v,u) para todo v,u\in V.
Perguntas do enunciado:
  1. h é uma forma bilinear?
  2. h é simétrica?

Passo 2

Primeiro vamos lembrar com clareza o que precisamos provar (sem ainda provar): uma forma bilinear é uma função F:V\times V\to\mathbb{R} que é linear em cada argumento separadamente. Ou seja, para todos v,v',u,u'\in V e todo escalar a\in\mathbb{R} valem:
F(v+v',u)=F(v,u)+F(v',u),
F(av,u)=a\,F(v,u),
F(v,u+u')=F(v,u)+F(v,u'),
F(v,au)=a\,F(v,u).
Uma forma bilinear é simétrica quando, além disso, para todos v,u\in V temos
F(v,u)=F(u,v).
Nosso objetivo será: (i) verificar as quatro propriedades de linearidade para h; (ii) avaliar a propriedade de simetria para h.

Passo 3

Vamos provar que h é linear no primeiro argumento. Tome v,v',u\in V e a\in\mathbb{R}. Usando que f e g são bilineares (logo são lineares em cada argumento), obtemos:
h(v+v',u)=f(v+v',u)+g(v+v',u).
Pela linearidade de f e g no primeiro argumento,
f(v+v',u)=f(v,u)+f(v',u),
g(v+v',u)=g(v,u)+g(v',u).
Somando essas igualdades vem
h(v+v',u)=\bigl(f(v,u)+g(v,u)\bigr)+\bigl(f(v',u)+g(v',u)\bigr)=h(v,u)+h(v',u).
Isso mostra a aditividade de h no primeiro argumento. Agora a homogeneidade:
h(av,u)=f(av,u)+g(av,u)=a\,f(v,u)+a\,g(v,u)=a\bigl(f(v,u)+g(v,u)\bigr)=a\,h(v,u).
Portanto h é linear no primeiro argumento.

Passo 4

Agora provamos que h é linear no segundo argumento. Tome v,u,u'\in V e a\in\mathbb{R}. Usando bilinearidade de f e g no segundo argumento:
h(v,u+u')=f(v,u+u')+g(v,u+u')= \bigl(f(v,u)+f(v,u')\bigr)+\bigl(g(v,u)+g(v,u')\bigr)
= \bigl(f(v,u)+g(v,u)\bigr)+\bigl(f(v,u')+g(v,u')\bigr)=h(v,u)+h(v,u').
E
h(v,au)=f(v,au)+g(v,au)=a\,f(v,u)+a\,g(v,u)=a\,h(v,u).
Logo h é linear no segundo argumento também.

Passo 5

Como mostramos que h é linear em cada argumento separadamente, concluímos que h é uma forma bilinear. Intuição curta: a soma de duas aplicações que são lineares em cada argumento continua sendo linear em cada argumento, porque a adição e multiplicação escalar “passam” através da soma.

Passo 6

Agora tratamos a simetria. Suponha que f e g sejam simétricas, ou seja para todo v,u\in V,
f(v,u)=f(u,v)\quad\text{e}\quad g(v,u)=g(u,v).
Então, para todo v,u\in V,
h(v,u)=f(v,u)+g(v,u)=f(u,v)+g(u,v)=h(u,v).
Portanto, se f e g são simétricas então h é simétrica.

Passo 7

Sejam agora f e g quaisquer (apenas bilineares), não assumindo simetria. A propriedade de simetria de h não segue automaticamente: h só será simétrica quando as assimetrias de f e g se cancelarem exatamente, o que não é garantido em geral. Para deixar isso claro, apresento um contraexemplo simples (mostrando que, sem hipótese extra, h pode não ser simétrica).
Considere V=\mathbb{R}^2. Para v=(v_1,v_2) e u=(u_1,u_2) defina a forma bilinear
f(v,u)=v_1u_2,
e tome g como a forma zero g\equiv 0 (que é bilinear e simétrica). Então h=f+g=f. Mas para v=(1,0) e u=(0,1) temos
f(v,u)=1\cdot 1=1,
f(u,v)=0\cdot 0=0,
portanto f(v,u)\neq f(u,v). Assim h não é simétrica neste exemplo. Esse exemplo mostra que, sem exigir que ambas f e g sejam simétricas, h pode falhar em ser simétrica.

Resposta

Sim. h é sempre uma forma bilinear.
h é simétrica se, e somente se, f e g forem simétricas (em geral não é simétrica sem essa hipótese).

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