Considere
um
-espaço vetorial e as formas bilineares
e
sobre
. A função
tal que
é uma forma bilinear? É simétrica?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
- Dado um espaço vetorial real
. - Existem formas bilineares
e . - Define-se
por para todo .
Perguntas do enunciado:
-
é uma forma bilinear? -
é simétrica?
Passo 2
Primeiro vamos lembrar com clareza o que precisamos provar (sem ainda provar): uma forma bilinear é uma função
que é linear em cada argumento separadamente. Ou seja, para todos
e todo escalar
valem:
Uma forma bilinear é simétrica quando, além disso, para todos
temos
Nosso objetivo será: (i) verificar as quatro propriedades de linearidade para
; (ii) avaliar a propriedade de simetria para
.
Passo 3
Vamos provar que
é linear no primeiro argumento. Tome
e
. Usando que
e
são bilineares (logo são lineares em cada argumento), obtemos:
Pela linearidade de
e
no primeiro argumento,
Somando essas igualdades vem
Isso mostra a aditividade de
no primeiro argumento. Agora a homogeneidade:
Portanto
é linear no primeiro argumento.
Passo 4
Agora provamos que
é linear no segundo argumento. Tome
e
. Usando bilinearidade de
e
no segundo argumento:
E
Logo
é linear no segundo argumento também.
Passo 5
Como mostramos que
é linear em cada argumento separadamente, concluímos que
é uma forma bilinear. Intuição curta: a soma de duas aplicações que são lineares em cada argumento continua sendo linear em cada argumento, porque a adição e multiplicação escalar “passam” através da soma.
Passo 6
Agora tratamos a simetria. Suponha que
e
sejam simétricas, ou seja para todo
,
Então, para todo
,
Portanto, se
e
são simétricas então
é simétrica.
Passo 7
Sejam agora
e
quaisquer (apenas bilineares), não assumindo simetria. A propriedade de simetria de
não segue automaticamente:
só será simétrica quando as assimetrias de
e
se cancelarem exatamente, o que não é garantido em geral. Para deixar isso claro, apresento um contraexemplo simples (mostrando que, sem hipótese extra,
pode não ser simétrica).
Considere
. Para
e
defina a forma bilinear
e tome
como a forma zero
(que é bilinear e simétrica). Então
. Mas para
e
temos
portanto
. Assim
não é simétrica neste exemplo. Esse exemplo mostra que, sem exigir que ambas
e
sejam simétricas,
pode falhar em ser simétrica.
Resposta
Sim.
é sempre uma forma bilinear.
é simétrica se, e somente se,
e
forem simétricas (em geral não é simétrica sem essa hipótese).