Verifique se as funções abaixo definem formas bilineares: f: \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) \times \operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R} tal que f(A, B)=\operatorname{tr}\left(A^{\top} M B\right), sendo M=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 5\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação f:\operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R})\times\operatorname{Mat}_{2}(\mathbb{R})\to\mathbb{R} definida por
f(A,B)=\operatorname{tr}\!\big(A^{\top} M B\big)
com M=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & 5\end{pmatrix} define uma forma bilinear.
Informações relevantes fornecidas:
e M é uma matriz fixa em \operatorname{Mat}_2(\mathbb{R}).
A pergunta é única: verificar se f é bilinear (ou seja, linear em cada argumento separadamente).]
Passo 2
Definição do que precisamos provar (de forma explícita): f é bilinear se, para todo A,A_1,A_2,B,B_1,B_2\in\operatorname{Mat}_2(\mathbb{R}) e todo c\in\mathbb{R}, valem as propriedades
Motivação rápida e intuitiva: (P1) vem do fato de que o transposto age entrada a entrada; (P2) é a distributividade da multiplicação matricial em cada fator; (P3) vem de que a traço é soma das entradas da diagonal, e soma/escala passam para dentro da soma.]
Passo 4
Prova da linearidade em A (mantendo B fixo).
Seja B fixo. Para A_1,A_2\in\operatorname{Mat}_2(\mathbb{R}),
\begin{aligned} f(A_1+A_2,B) &= \operatorname{tr}\!\big((A_1+A_2)^{\top} M B\big)\\[4pt] &= \operatorname{tr}\!\big(A_1^{\top} M B + A_2^{\top} M B\big)\quad\text{(usando \(P1\) e \(P2\))}\\[4pt] &= \operatorname{tr}\!\big(A_1^{\top} M B\big)+\operatorname{tr}\!\big(A_2^{\top} M B\big)\quad\text{(usando \(P3\))}\\[4pt] &= f(A_1,B)+f(A_2,B). \end{aligned}
Para escalar c\in\mathbb{R},
\begin{aligned} f(cA,B) &= \operatorname{tr}\!\big((cA)^{\top} M B\big)\\[4pt] &= \operatorname{tr}\!\big(c A^{\top} M B\big)\quad\text{(usando \(P1\))}\\[4pt] &= c\,\operatorname{tr}\!\big(A^{\top} M B\big)\quad\text{(usando \(P3\))}\\[4pt] &= c\,f(A,B). \end{aligned}
Portanto f é linear em A.]
Passo 5
Prova da linearidade em B (mantendo A fixo).
Seja A fixo. Para B_1,B_2\in\operatorname{Mat}_2(\mathbb{R}),
\begin{aligned} f(A,B_1+B_2) &= \operatorname{tr}\!\big(A^{\top} M (B_1+B_2)\big)\\[4pt] &= \operatorname{tr}\!\big(A^{\top} M B_1 + A^{\top} M B_2\big)\quad\text{(usando \(P2\))}\\[4pt] &= \operatorname{tr}\!\big(A^{\top} M B_1\big)+\operatorname{tr}\!\big(A^{\top} M B_2\big)\quad\text{(usando \(P3\))}\\[4pt] &= f(A,B_1)+f(A,B_2). \end{aligned}
Para escalar c\in\mathbb{R},
\begin{aligned} f(A,cB) &= \operatorname{tr}\!\big(A^{\top} M (cB)\big)\\[4pt] &= \operatorname{tr}\!\big(c\,A^{\top} M B\big)\quad\text{(usando \(P2\))}\\[4pt] &= c\,\operatorname{tr}\!\big(A^{\top} M B\big)\quad\text{(usando \(P3\))}\\[4pt] &= c\,f(A,B). \end{aligned}
Portanto f é linear em B.]
Passo 6
Como demonstramos linearidade em A (com B fixo) e linearidade em B (com A fixo), concluímos que f é bilinear. Note que isso não depende dos valores específicos de M; basta que M seja uma matriz fixa e que se apliquem as propriedades acima.