A relação entre
e
em determinado circuito RLC é chamada de taxa de amortecimento por engenheiros que trabalham com sistemas de controle, sendo designada por
(zeta).
Agora, considere um circuito RLC paralelo tendo uma indutância de 10 mH e uma capacitância de
. Determine os valores do resistor que causariam respostas sobreamortecidas e subamortecidas, respectivamente.
Agora, considere um circuito RLC paralelo tendo uma indutância de 10 mH e uma capacitância de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede! Temos um circuito RLC paralelo com uma indutância de $ L = 10 , mH $ e uma capacitância de $ C = 100 , \muF $. A ideia é descobrir quais valores do resistor $ R $ vão fazer com que o circuito apresente respostas sobreamortecidas (quando o sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar) e subamortecidas (quando o sistema oscila enquanto retorna ao equilíbrio).
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre taxa de amortecimento ($ \zeta $) e como ela se relaciona com os componentes do circuito. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular $ \alpha
\omega $ usando as fórmulas que o enunciado fornece:
Aqui, $ R $ é o resistor que queremos encontrar, $ L $ é a indutância e $ C $ é a capacitância do circuito.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor de $ \omega $ com os valores dados de $ L $ e $ C $:
Passo 4
A taxa de amortecimento ($ \zeta $) é dada por:
Queremos encontrar os valores de $ R $ que fazem com que $ \zeta > 1 $ (sobreamortecido) e $ \zeta < 1 $ (subamortecido).
Passo 5
Vamos achar o valor crítico de $ R $ onde $ \zeta = 1 $. Isso acontece quando:
Resolvendo para $ R $:
Substituindo os valores de $ C $ e $ \omega $:
Passo 6
Analisando:
- Se $ R > 158 , \Omega $: $ \zeta < 1 $ → Subamortecido
- Se $ R < 158 , \Omega $: $ \zeta > 1 $ → Sobreamortecido
Resposta
Para o circuito RLC paralelo com $ L = 10 , mH $ e $ C = 100 , \muF $:
- Subamortecido (respostas oscilatórias) quando $ R > 158 , \Omega $
- Sobreamortecido (respostas sem oscilar) quando $ R < 158 , \Omega $