A relação entre alpha=12 R C e omega=1raizL C em determinado circuito RLC é chamada de taxa de amortecimento por engenheiros que trabalham com sistemas de controle, sendo designada por zeta (zeta).
Agora, considere um circuito RLC paralelo tendo uma indutância de 10 mH e uma capacitância de 100 mu F. Determine os valores do resistor que causariam respostas sobreamortecidas e subamortecidas, respectivamente.
R<5 e R>5

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede! Temos um circuito RLC paralelo com uma indutância de $ L = 10 , mH $ e uma capacitância de $ C = 100 , \muF $. A ideia é descobrir quais valores do resistor $ R $ vão fazer com que o circuito apresente respostas sobreamortecidas (quando o sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar) e subamortecidas (quando o sistema oscila enquanto retorna ao equilíbrio).
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre taxa de amortecimento ($ \zeta $) e como ela se relaciona com os componentes do circuito. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular $ \alpha alpha \omega $ usando as fórmulas que o enunciado fornece:
omega
alpha = 12RC
Aqui, $ R $ é o resistor que queremos encontrar, $ L $ é a indutância e $ C $ é a capacitância do circuito.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor de $ \omega $ com os valores dados de $ L $ e $ C $:
omega

Passo 4

A taxa de amortecimento ($ \zeta $) é dada por:
zeta
Queremos encontrar os valores de $ R $ que fazem com que $ \zeta > 1 $ (sobreamortecido) e $ \zeta < 1 $ (subamortecido).

Passo 5

Vamos achar o valor crítico de $ R $ onde $ \zeta = 1 $. Isso acontece quando:
R
Resolvendo para $ R $:
zeta = 1
Substituindo os valores de $ C $ e $ \omega $:
1 = 12RC cdot omega

Passo 6

Analisando:
  • Se $ R > 158 , \Omega $: $ \zeta < 1 $ → Subamortecido
  • Se $ R < 158 , \Omega $: $ \zeta > 1 $ → Sobreamortecido

Resposta

Para o circuito RLC paralelo com $ L = 10 , mH $ e $ C = 100 , \muF $:
  • Subamortecido (respostas oscilatórias) quando $ R > 158 , \Omega $
  • Sobreamortecido (respostas sem oscilar) quando $ R < 158 , \Omega $

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