Q1: Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I. Se um sistema admite solução então o conjunto de todas as colunas da matriz aumentada do sistema é LI.
II. Se o vetor lado-direito de um sistema linear é CL das colunas da sua matriz de coeficientes, então o sistema admite solução(ões).
Passo 1
O enunciado dá duas afirmativas (I e II) sobre um sistema linear e pede que escolhemos entre as alternativas (A),(B),\text{(C)},(D):
I. Se um sistema admite solução então o conjunto de todas as colunas da matriz aumentada do sistema é LI.
II. Se o vetor lado-direito de um sistema linear é CL das colunas da sua matriz de coeficientes, então o sistema admite solução(ões).
As alternativas são:
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Há referência à “matriz aumentada” do sistema (isto é a matriz [A\mid b] formada pelas colunas da matriz de coeficientes A e pela coluna do vetor lado-direito b).
Aparecem as siglas “LI” e “CL” (respectivamente linearmente independente e combinação linear) aplicadas ao conjunto de colunas.
Passo 2
Vou explicar claramente os conceitos que aparecem nas afirmativas (assim fica fácil entender por que cada uma é verdadeira ou falsa).
Matriz aumentada: para um sistema linear Ax=b, a matriz aumentada é [A\mid b]. Isso significa que suas colunas são as colunas de A (cada uma corresponde a uma variável) mais, como última coluna, o vetor b.
Combinação linear (CL): dizer que b é CL das colunas de A significa que existem escalares x_1,x_2,\dots,x_n tais que
b = x_1 c_1 + x_2 c_2 + \cdots + x_n c_n,
onde c_1,\dots,c_n são as colunas de A. Em linguagem matricial isso é exatamente b = A x para algum vetor x.
Linearmente independente (LI): um conjunto de vetores \{v_1,\dots,v_k\} é LI se a única solução do sistema
\alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_k v_k = 0
é \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0. Caso contrário o conjunto é linearmente dependente (LD).
Essas definições já mostram uma conexão direta entre ser CL das colunas e existir solução do sistema: se b é combinação linear das colunas então existe x com Ax=b. Agora vamos usar isso para analisar as duas afirmativas.
Passo 3
Análise da afirmativa II (prova simples e direta).
Afirmativa II: “Se o vetor lado-direito de um sistema linear é CL das colunas da sua matriz de coeficientes, então o sistema admite solução(ões).”
Prova explicada passo a passo:
Dizer que b é CL das colunas de A significa, por definição, que existem escalares x_1,\dots,x_n tais que
b = x_1 c_1 + \cdots + x_n c_n,
onde c_j são as colunas de A.
Escrevendo em forma matricial, isso é exatamente
b = A \begin{pmatrix}x_1\\[4pt]\vdots\\[4pt]x_n\end{pmatrix}.
Portanto o vetor \displaystyle x=\begin{pmatrix}x_1\\\ \vdots\\\ x_n\end{pmatrix} é uma solução do sistema Ax=b.
Conclusão: a afirmativa II é verdadeira.
Tem-se b = 1\cdot\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} + 2\cdot\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} não exatamente, mas se encontrarmos x resolvendo Ax=b obtemos x=(1,2)^\top porque
(aqui só ilustração; o ponto chave é que b estar no span das colunas de A é equivalente a existir x com Ax=b). Em resumo: II é verdadeira porque ser combinação linear das colunas é exatamente a condição de existência de solução.]
Passo 4
Análise da afirmativa I (exibição de contraexemplo que a torna falsa).
Afirmativa I: “Se um sistema admite solução então o conjunto de todas as colunas da matriz aumentada do sistema é LI.”
Essa afirmação afirma que consistência do sistema forçaria as colunas de [[A\mid b]) a serem linearmente independentes. Mas isso é falso: um sistema pode ser consistente mesmo que as colunas (incluindo b) sejam linearmente dependentes.
Vou dar um contraexemplo explícito e simples (com contas bem mostradas).
Considere o sistema com matriz de coeficientes e vetor b:
A segunda equação é 0=0\] (sempre satisfeita) e a primeira admite infinitas soluções (por exemplo \(x_1=2, x_2=0 ou x_1=1, x_2=1, etc.). Logo o sistema admite solução(ões): é consistente.
Agora verifico dependência linear das colunas de [A\mid b]. Note que
b = 2 c_1.
Também c_1=c_2. Portanto existe uma combinação linear não-trivial que produz o vetor zero entre essas colunas (por exemplo 1\cdot c_1 -1\cdot c_2 + 0\cdot b = 0), ou simplesmente elas não são todas independentes porque c_1=c_2 já basta. Logo as colunas de [A\mid b] são linearmente dependentes.
Portanto temos um sistema consistente cuja matriz aumentada tem colunas LD. Isso demonstra que a afirmativa I é falsa.
Comentário intuitivo: consistência exige apenas que b esteja no span das colunas de A; isso não impede que as próprias colunas (incluindo b) sejam dependentes. A afirmativa I pretendia uma implicação muito mais forte (consistência ⇒ colunas de [A\mid b] são LI), mas essa implicação não vale em geral.]
Passo 5
Conclusão combinando os resultados:
I é falsa (contraexemplo mostrado).
II é verdadeira (prova direta pela definição de combinação linear).