Q14: Escalonando a matriz ampliada do sistema A \vec{x}=\vec{b},
[A \mid \vec{b}] \sim\left[\begin{array}{rrrrrrr|r}3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & -2 & 0 & 1\end{array}\right]
A dimensão do conjunto-solução do sistema é:
\begin{array}{lllll}\text { (A) } 2 & \text { \text{(C)} } 4 & \text { (D) } 5 & \text { (E) } 6 & \text { (F) } 7\end{array}

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do conjunto-solução do sistema linear A\vec{x}=\vec{b}. As informações dadas (aproveitei a forma escalonada fornecida) são:
[A\mid \vec{b}]\sim \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 & \mid & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & -2 & 0 & \mid & 1 \end{bmatrix}.
Também é visível na matriz que a matriz A tem 7 colunas, portanto o sistema tem n=7 incógnitas.]

Passo 2

O que significa “dimensão do conjunto-solução”? Vou explicar de forma didática e calma.
  • Para um sistema linear não-homogêneo A\vec{x}=\vec{b} que é consistente, o conjunto de soluções é um subespaço afim que pode ser escrito como
\vec{x}=\vec{x}_p + \mathcal{N}(A),
onde \vec{x}_p é uma solução particular e \mathcal{N}(A) é o núcleo (ou espaço nulo) de A — conjunto das soluções de A\vec{x}=\vec{0}.
  • A dimensão do conjunto de soluções é, portanto, a dimensão de \mathcal{N}(A). Pelo teorema da dimensão (teorema da nulidade), vale
\dim\mathcal{N}(A)=n-\operatorname{rank}(A),
onde n é o número de incógnitas (colunas de A) e \operatorname{rank}(A) é o posto (número de pivôs) da matriz A.
  • Antes de aplicar isso, precisamos garantir que o sistema seja consistente (ou seja, que a forma escalonada não tenha uma linha do tipo [0\\\ 0\\ \dots\\\ 0\mid c] com c\neq 0). Se fosse inconsistente, o conjunto-solução seria vazio e a “dimensão” não faria sentido.

Passo 3

Identificar os pivôs (colunas com liderança) na forma escalonada dada:
  • Na primeira linha a primeira entrada não nula é 3 na coluna 1. Logo existe um pivô na coluna 1.
  • Na segunda linha a primeira entrada não nula é -1 na coluna 4. Logo existe um pivô na coluna 4.
Não há linhas nulas na parte esquerda com entrada não nula na coluna ampliada: a segunda linha tem coeficientes não todos zero (há -1 e -2), e a entrada ampliada é 1; isso não é uma contradição do tipo 0= constante não nula. Portanto o sistema é consistente.
Assim o número de pivôs (posto de A) é
\operatorname{rank}(A)=2.

Passo 4

Calcular a dimensão do espaço de soluções usando a fórmula da nulidade:
\dim\mathcal{N}(A)=n-\operatorname{rank}(A)=7-2=5.
Interpretação prática: entre as 7 incógnitas, 2 são determinadas pelos pivôs (variáveis básicas) e as outras 5 são livres; cada variável livre corresponde a um grau de liberdade na solução, por isso a dimensão é 5.

Resposta

(D) 5

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