Q1 - Imagine que você é professor de Física I e deseja montar uma questão de prova que envolva conceitos da Dinâmica, particularmente as Leis de Newton e a força elástica. a) Crie o enunciado de uma questão que poderia ser utilizada numa prova. (5) b) Discuta qual seria a solução da questão. Se envolver grandezas numéricas, não há necessidade de apresentar quaiquer cáicuio, basta explicar o que deve ser feito. (5)

Passo 1

Enunciado da questão (parte a): Um bloco de massa \,m=2{,}0\\ \mathrm{kg}\, repousa sobre uma superfície horizontal. Uma extremidade de uma mola de constante elástica \,k=200\\ \mathrm{N/m}\, está fixa na parede e a outra extremidade está presa ao bloco. O bloco é puxado lentamente para a direita até que a mola seja esticada de \,x_0=0{,}20\\ \mathrm{m}\, (a mola está fora do seu comprimento natural) e então o bloco é solto a partir do repouso. A superfície oferece atrito cinético com coeficiente \,\mu_k=0{,}10. Despreze resistência do ar e considere g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
Perguntas pedidas:
  1. Qual é a aceleração do bloco imediatamente após ser solto? (direção e módulo)
  2. Qual é a velocidade do bloco quando ele passa pela posição em que a mola está no comprimento natural (ou seja, x=0)?
  3. Qual é a máxima compressão da mola do outro lado (isto é, o máximo deslocamento para a esquerda x_{\max} medido a partir do comprimento natural) após a liberação?
Informações relevantes dadas:
\,m=2{,}0\\ \mathrm{kg}\,, \,k=200\\ \mathrm{N/m}\,, \,x_0=0{,}20\\ \mathrm{m}\,, \,\mu_k=0{,}10, g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}. O bloco é solto do repouso.

Passo 2

Entendendo as forças envolvidas e as fórmulas que vamos usar (pequena “aula” bem prática):
  • Força elástica (Lei de Hooke): a mola exerce sobre o bloco uma força cujo módulo é
F_{\text{mola}}=k\,x,
onde \,k\, é a constante da mola e \,x\, é o deslocamento da posição natural (positivo se a mola está esticada). A direção é sempre para o lado que tende a levar a mola ao seu comprimento natural (logo, se a mola está esticada para a direita, a força da mola aponta para a esquerda).
  • Força de atrito cinético: quando o bloco desliza, a força de atrito tem módulo
F_{\text{atrito}}=\mu_k\,m\,g,
e atua no sentido oposto ao movimento instantâneo.
  • Segunda Lei de Newton: a soma (vetorial) das forças é a massa vezes a aceleração:
\sum F = m a.
Para movimento horizontal podemos tomar convenção: positivo para a direita, negativo para a esquerda.
  • Energia e trabalho: quando houver forças não conservativas (como atrito), podemos usar balanço entre energia potencial elástica, energia cinética e trabalho das forças dissipativas. A energia potencial elástica é
U_{\text{mola}}=\tfrac{1}{2}k x^2,
e o trabalho da força de atrito ao deslocar o bloco por uma distância d vale W_{\text{atrito}}=-F_{\text{atrito}}\,d (negativo porque atrito tira energia do sistema).
Essas são as ferramentas: Newton + Hooke para a aceleração instantânea; conservação de energia ajustada pelo trabalho do atrito para a velocidade e a máxima compressão.

Passo 3

Cálculo da aceleração imediatamente após a liberação (pergunta 1).
Na posição inicial a mola está esticada \,x_0=0{,}20\\ \mathrm{m}\, e o bloco é solto do repouso. Imediatamente após soltar, o bloco começará a mover-se para a esquerda (porque a mola puxa para a parede). Tomando para a direita sentido positivo, a força da mola é para a esquerda (negativa) com módulo \,k x_0. A força de atrito durante o movimento (cinético) atua para a direita (pois o movimento é para a esquerda) com módulo \,F_{\text{atrito}}=\mu_k m g.
Escrevemos a soma das forças (sinalizadas):
\sum F = -k x_0 + F_{\text{atrito}} = m a.
Note o sinal: -k x_0 porque a mola puxa para a esquerda; F_{\text{atrito}} para a direita (positivo).
Isolando a:
a = \frac{-k x_0 + \mu_k m g}{m}.
Agora substituímos os números (mostro as contas para você aprender a fazer na prova):
k x_0 = 200\cdot 0{,}20 = 40\\ \mathrm{N},
F_{\text{atrito}}=\mu_k m g = 0{,}10\cdot 2{,}0\cdot 9{,}8 = 1{,}96\\ \mathrm{N}.
Logo
a = \frac{-40 + 1{,}96}{2{,}0} = \frac{-38{,}04}{2{,}0} = -19{,}02\\ \mathrm{m/s^2}.
Interpretação: o sinal negativo indica aceleração para a esquerda; o módulo é 19{,}02\\ \mathrm{m/s^2}.
Dica de prova: descreva claramente sinais e convenção (direita positiva), calcule cada força separadamente antes de somar.

Passo 4

Cálculo da velocidade ao passar pela posição x=0 (pergunta 2) usando energia (método mais direto e comum).
Raciocínio físico: a energia inicial disponível é a energia potencial elástica na mola esticada \tfrac{1}{2}k x_0^2. Ao ir de x_0 até x=0 o atrito realiza trabalho dissipativo negativo igual a -F_{\text{atrito}}\cdot x_0. A diferença entre a energia inicial e o trabalho do atrito aparece como energia cinética na posição x=0.
Escrevendo:
\tfrac{1}{2}k x_0^2 - F_{\text{atrito}}\,x_0 = \tfrac{1}{2} m v^2,
onde v é a velocidade ao passar por x=0.
Substituindo valores:
\tfrac{1}{2}k x_0^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 200\cdot (0{,}20)^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 200\cdot 0{,}04 = 4{,}0\\ \mathrm{J},
F_{\text{atrito}}\,x_0 = 1{,}96\cdot 0{,}20 = 0{,}392\\ \mathrm{J}.
Energia cinética em x=0:
\tfrac{1}{2} m v^2 = 4{,}0 - 0{,}392 = 3{,}608\\ \mathrm{J}.
Logo
v = \sqrt{\frac{2\cdot 3{,}608}{2{,}0}} = \sqrt{3{,}608}\approx 1{,}90\\ \mathrm{m/s}.
Observações didáticas: usar energia é prático porque evita integrar forças variáveis; para a mola a energia potencial é simples \tfrac{1}{2}k x^2. Sempre subtrair o trabalho do atrito (que depende da distância percorrida).

Passo 5

Cálculo da máxima compressão da mola do outro lado (pergunta 3).
Quando o bloco continuar passando por x=0 ele seguirá para a esquerda e a mola começará a comprimir; em algum ponto x=-x_{\max} (ou seja, deslocamento para a esquerda de magnitude x_{\max}) a velocidade será zero momentaneamente. Nesse ponto toda a energia cinética será convertida em energia potencial elástica adicional, menos a energia perdida ao longo do caminho por atrito.
Podemos fazer balanço de energia entre o estado inicial ( x=x_0, velocidade zero) e o ponto de máxima compressão ( x=-x_{\max}, velocidade zero):
\tfrac{1}{2}k x_0^2 - F_{\text{atrito}}(x_0 + x_{\max}) = \tfrac{1}{2}k x_{\max}^2.
Explicando cada termo:
  • \tfrac{1}{2}k x_0^2 é energia elástica inicial.
  • F_{\text{atrito}}(x_0 + x_{\max}) é o trabalho realizado pelo atrito ao deslocar do ponto x_0 até x=-x_{\max}; a distância total percorrida é x_0 + x_{\max}.
  • \tfrac{1}{2}k x_{\max}^2 é a energia elástica no ponto de máxima compressão.
Agora resolvemos algebricamente. Reescrevendo:
\tfrac{1}{2}k x_0^2 - \tfrac{1}{2}k x_{\max}^2 = F_{\text{atrito}}(x_0 + x_{\max}).
Factorizando o lado esquerdo usando x_0^2 - x_{\max}^2=(x_0-x_{\max})(x_0+x_{\max}):
\tfrac{1}{2}k (x_0-x_{\max})(x_0+x_{\max}) = F_{\text{atrito}}(x_0 + x_{\max}).
Se x_0+x_{\max}\neq 0 (o caso trivial seria simétrico oposto, mas aqui não é zero), podemos dividir por (x_0+x_{\max}) e obter:
\tfrac{1}{2}k (x_0-x_{\max}) = F_{\text{atrito}}.
Isolando x_{\max}:
x_{\max} = x_0 - \frac{2F_{\text{atrito}}}{k}.
Substituindo:
\frac{2F_{\text{atrito}}}{k} = \frac{2\cdot 1{,}96}{200} = \frac{3{,}92}{200} = 0{,}0196\\ \mathrm{m},
logo
x_{\max} = 0{,}20 - 0{,}0196 = 0{,}1804\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma coerente com os dados: x_{\max}\approx 0{,}180\\ \mathrm{m}.
Interpretação: sem atrito a máxima compressão seria igual a x_0=0{,}20\\ \mathrm{m} (simetria). O atrito faz com que a compressão máxima seja um pouco menor, diminuindo a amplitude em 0{,}0196\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Checagens, dicas de prova e resumo do raciocínio:
  • Verifique sempre sinais e direções antes de somar forças; escolha convenção de sinais e mantenha-a.
  • Para aceleração instantânea use Segunda Lei de Newton diretamente (forças em um dado instante).
  • Para trajetórias maiores envolvendo variação de energia da mola é muitas vezes mais simples usar conservação de energia com acréscimo do trabalho das forças não conservativas (aqui, atrito).
  • Mostre os passos: calcular cada força numericamente, depois montar a equação (bem organizado). Isso facilita ganhar pontos em prova mesmo que você erre um número.
  • Interpretação física final: a mola puxa fortemente (40 N) enquanto o atrito é pequeno (≈1,96 N), por isso a aceleração inicial é grande para a massa dada; entretanto o atrito, embora pequeno, dissipa energia e reduz ligeiramente a amplitude do movimento.

Resposta

\,a=-19{,}02\\ \mathrm{m/s^2}\,
\,v(x=0)=1{,}90\\ \mathrm{m/s}\,
\,x_{\max}=0{,}180\\ \mathrm{m}\,

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