(Q1-ITA/1998) Seja
a função definida por
. Então:
a) f é ímpar e periódica de período
.
b) f é par e periódica de período
.
c) f não é par nem ímpar e é periódica de período
.
d) f não é par e é periódica de período
.
e) f não é ímpar e não é periódica.
a) f é ímpar e periódica de período
b) f é par e periódica de período
c) f não é par nem ímpar e é periódica de período
d) f não é par e é periódica de período
e) f não é ímpar e não é periódica.
Passo 1
O enunciado nos dá a função real
As perguntas implícitas nas alternativas são:
- A função é par, ímpar ou nenhuma das duas?
- A função é periódica? Se sim, qual é o período indicado pelas alternativas (
, , etc.)?
Lista das informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
: . - As alternativas envolvem propriedades de paridade (par/ímpar/nem) e periodicidade (vários períodos candidatos).
Passo 2
Definições úteis (aulas rápidas, passo a passo):
- Uma função
é par se, para todo real,
Isto significa simetria em relação ao eixo vertical.
- Uma função
é ímpar se, para todo real,
Isto significa simetria central em relação à origem.
- Para testar paridade, calcular
e comparar com e com .
Agora uma lembrança sobre períodos de funções trigonométricas:
- A função
tem período : isto é, para todo . - Para a função
(com ), o período fundamental é
porque
.
- O mesmo vale para
: período . - Se duas funções têm o mesmo período
, qualquer combinação linear delas também é periódica com período (pode ter período fundamental menor, mas é um período comum).
Passo 3
Vamos testar a paridade calculando
. Substituindo
por
em
:
Usando as identidades
e
, obtemos
Passo 4
Comparações para decidir paridade:
- Compare
com . Temos
Claramente
em geral, portanto
não é par.
- Compare
com . Calcula-se
E vimos que
. Como
em geral, temos
. Portanto
não é ímpar.
Conclusão parcial (completo e explícito): não é nem par nem ímpar.
Conclusão parcial (completo e explícito):
Passo 5
Agora a periodicidade. Use a regra para
e
:
- Para
, o período fundamental de e de é
Isto significa que, para todo
,
Portanto ambos os termos que compõem
repetem com período
, e assim
é periódica com período
(pelo menos).
Passo 6
Verificação de períodos menores (garantir que o período fundamental não é menor que
):
- Tentar
. Calcula-se
Note que isto é exatamente
, não
. Então
não é período (pois exige
para todo
).
- Para qualquer
que fizesse para todo , teríamos sendo múltiplo de , o que implica . Assim não existe período positivo menor que que funcione para (e portanto para ). Logo o período fundamental de é .
Passo 7
Resumo do raciocínio (breve, para fixar): calculamos
e vimos que não coincide nem com
nem com
, então
não é par nem ímpar. As funções
e
têm período fundamental
, logo
é periódica com período fundamental
.
Resposta
c) f não é par nem ímpar e é periódica de período
.