(Q1-ITA/1998) Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} a função definida por \mathrm{f}(\mathrm{x})=2 \operatorname{sen} 2 \mathrm{x}-\cos 2 \mathrm{x}. Então:
a) f é ímpar e periódica de período \pi.
b) f é par e periódica de período \pi / 2.
c) f não é par nem ímpar e é periódica de período \pi.
d) f não é par e é periódica de período \pi / 4.
e) f não é ímpar e não é periódica.

Passo 1

O enunciado nos dá a função real
f(x)=2\sin(2x)-\cos(2x).
As perguntas implícitas nas alternativas são:
  • A função é par, ímpar ou nenhuma das duas?
  • A função é periódica? Se sim, qual é o período indicado pelas alternativas ( \pi/2, \pi/4, \pi etc.)?
Lista das informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de f(x): 2\sin(2x)-\cos(2x).
  • As alternativas envolvem propriedades de paridade (par/ímpar/nem) e periodicidade (vários períodos candidatos).

Passo 2

Definições úteis (aulas rápidas, passo a passo):
  • Uma função f é par se, para todo x real,
f(-x)=f(x).
Isto significa simetria em relação ao eixo vertical.
  • Uma função f é ímpar se, para todo x real,
f(-x)=-f(x).
Isto significa simetria central em relação à origem.
  • Para testar paridade, calcular f(-x) e comparar com f(x) e com -f(x).
Agora uma lembrança sobre períodos de funções trigonométricas:
  • A função \sin(t) tem período 2\pi: isto é, \sin(t+2\pi)=\sin(t) para todo t.
  • Para a função \sin(a x) (com a\neq0), o período fundamental é
T=\frac{2\pi}{a},
porque \sin(a(x+T))=\sin(ax+aT)=\sin(ax+2\pi)=\sin(ax).
  • O mesmo vale para \cos(ax): período T=\dfrac{2\pi}{a}.
  • Se duas funções têm o mesmo período T, qualquer combinação linear delas também é periódica com período T (pode ter período fundamental menor, mas T é um período comum).

Passo 3

Vamos testar a paridade calculando f(-x). Substituindo x por -x em f:
f(-x)=2\sin(2(-x))-\cos(2(-x)) = 2\sin(-2x)-\cos(-2x).
Usando as identidades \sin(-\theta)=-\sin\theta e \cos(-\theta)=\cos\theta, obtemos
f(-x)=2(-\sin(2x))-\cos(2x) = -2\sin(2x)-\cos(2x).

Passo 4

Comparações para decidir paridade:
  • Compare f(-x) com f(x). Temos
f(x)=2\sin(2x)-\cos(2x), \qquad f(-x)=-2\sin(2x)-\cos(2x).
Claramente f(-x)\neq f(x) em geral, portanto f não é par.
  • Compare f(-x) com -f(x). Calcula-se
-f(x) = -\bigl(2\sin(2x)-\cos(2x)\bigr) = -2\sin(2x)+\cos(2x).
E vimos que f(-x)=-2\sin(2x)-\cos(2x). Como -2\sin(2x)-\cos(2x)\neq -2\sin(2x)+\cos(2x) em geral, temos f(-x)\neq -f(x). Portanto f não é ímpar.
Conclusão parcial (completo e explícito): f não é nem par nem ímpar.

Passo 5

Agora a periodicidade. Use a regra para \sin(ax) e \cos(ax):
  • Para a=2, o período fundamental de \sin(2x) e de \cos(2x) é
T=\frac{2\pi}{2}=\pi.
Isto significa que, para todo x,
\sin\bigl(2(x+\pi)\bigr)=\sin(2x+2\pi)=\sin(2x), \qquad \cos\bigl(2(x+\pi)\bigr)=\cos(2x+2\pi)=\cos(2x).
Portanto ambos os termos que compõem f repetem com período \pi, e assim f é periódica com período \pi (pelo menos).

Passo 6

Verificação de períodos menores (garantir que o período fundamental não é menor que \pi):
  • Tentar T=\dfrac{\pi}{2}. Calcula-se
f\Bigl(x+\frac{\pi}{2}\Bigr)=2\sin\bigl(2x+\pi\bigr)-\cos\bigl(2x+\pi\bigr)=2(-\sin(2x))-(-\cos(2x))=-2\sin(2x)+\cos(2x).
Note que isto é exatamente -f(x), não f(x). Então T=\dfrac{\pi}{2} não é período (pois exige f(x+T)=f(x) para todo x).
  • Para qualquer T<\pi que fizesse \sin(2(x+T))=\sin(2x) para todo x, teríamos 2T sendo múltiplo de 2\pi, o que implica T\ge\pi. Assim não existe período positivo menor que \pi que funcione para \sin(2x) (e portanto para f). Logo o período fundamental de f é \pi.

Passo 7

Resumo do raciocínio (breve, para fixar): calculamos f(-x) e vimos que não coincide nem com f(x) nem com -f(x), então f não é par nem ímpar. As funções \sin(2x) e \cos(2x) têm período fundamental \pi, logo f é periódica com período fundamental \pi.

Resposta

c) f não é par nem ímpar e é periódica de período \pi.

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