(Q3-ITA/1997) O domínio D da função
f(x)=1 /\left[\frac{\sqrt{\pi x^{2}-\left(1+\pi^{2}\right) x+\pi}}{-2 x^{2}+3 \pi x}\right] é o conjunto
a) \mathrm{D}=\left\{\mathrm{x} \in \mathbb{R}: 0<\mathrm{x}<\frac{3 \pi}{2}\right\}
b) D=\left\{x \in \mathbb{R}: x<\frac{1}{\pi}\right. ou \left.x>\pi\right\}
c) \mathrm{D}=\left\{\mathrm{x} \in \mathbb{R}: 0<\mathrm{x} \leq \frac{1}{\pi}\right. ou \left.\mathrm{x} \geq \pi\right\}
d) D=\{x \in \mathbb{R}: x>0\}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{1}{\displaystyle\frac{\sqrt{\pi x^{2}-\left(1+\pi^{2}\right)x+\pi}}{-2x^{2}+3\pi x}}
e pede determinar o domínio D (estão dadas quatro alternativas). Informações relevantes fornecidas:
  • O numerador interno é \sqrt{\pi x^{2}-\left(1+\pi^{2}\right)x+\pi}.
  • O denominador interno é -2x^{2}+3\pi x.
  • A função é a recíproca do quociente \dfrac{\sqrt{\cdots}}{-2x^{2}+3\pi x}.
    O que o problema pede: identificar o conjunto de x\in\mathbb{R} para os quais f(x) está bem definida.

Passo 2

Regras para domínio (aula rápida, passo a passo):
  1. Para existir \sqrt{\,\cdot\,} precisamos que o argumento seja não negativo. Se chamarmos
S(x):=\pi x^{2}-\bigl(1+\pi^{2}\bigr)x+\pi,
é necessário S(x)\ge 0.
2) O denominador interno -2x^{2}+3\pi x não pode ser zero, pois aí a expressão \dfrac{\sqrt{S(x)}}{-2x^{2}+3\pi x} não estaria definida.
3) Além disso, a expressão inteira dentro do inverso não pode ser zero, porque f(x)=1/(\text{algo}) exige que esse “algo” seja diferente de zero. A única forma de \dfrac{\sqrt{S(x)}}{-2x^{2}+3\pi x}=0 é ter \sqrt{S(x)}=0 (pois o denominador não pode ser zero por (2)). Assim precisamos também de \sqrt{S(x)}\neq 0, isto é S(x)>0.
Resumindo as condições combinadas que vamos usar:
S(x)>0\qquad\text{e}\qquad -2x^{2}+3\pi x \neq 0.

Passo 3

Analisar S(x)=\pi x^{2}-(1+\pi^{2})x+\pi.
Calcular o discriminante:
\Delta=(1+\pi^{2})^{2}-4\pi\cdot\pi=(1+\pi^{2})^{2}-4\pi^{2}=(\pi^{2}-1)^{2}.
As raízes são
x=\frac{1+\pi^{2}\pm(\pi^{2}-1)}{2\pi}.
Computando:
x_1=\frac{1+\pi^{2}+\pi^{2}-1}{2\pi}=\frac{2\pi^{2}}{2\pi}=\pi, \qquad x_2=\frac{1+\pi^{2}-\pi^{2}+1}{2\pi}=\frac{2}{2\pi}=\frac{1}{\pi}.
Como o coeficiente de x^{2} em S(x) é \pi>0, a parábola abre para cima. Logo S(x)>0 para
x<\frac{1}{\pi}\quad\text{ou}\quad x>\pi.
(Esses são os intervalos onde a expressão dentro da raiz é estritamente positiva, excluindo as raízes onde S=0.)

Passo 4

Analisar o denominador interno B(x):=-2x^{2}+3\pi x.
Fatorando:
B(x)=x(-2x+3\pi).
As raízes são x=0 e x=\dfrac{3\pi}{2}. Portanto devemos excluir esses dois valores (pois em tais pontos ocorre divisão por zero dentro da expressão).

Passo 5

Juntando as condições dos passos anteriores:
  • Precisa ser S(x)>0, isto é x<\dfrac{1}{\pi} ou x>\pi.
  • Além disso x\neq 0 e x\neq \dfrac{3\pi}{2}.
    Observação: x=0 pertence ao intervalo x<\dfrac{1}{\pi} e x=\dfrac{3\pi}{2} pertence ao intervalo x>\pi. Portanto o domínio rigoroso é
D=\left(-\infty,\frac{1}{\pi}\right)\setminus\{0\}\;\cup\;\left(\pi,\infty\right)\setminus\left\{\frac{3\pi}{2}\right\}.
Isto é, todos os x tais que x<\dfrac{1}{\pi} ou x>\pi, exceto x=0 e x=\dfrac{3\pi}{2}.

Passo 6

Comparar com as alternativas:
a) \{x:0<x<\tfrac{3\pi}{2}\} — errado (não coincide com os intervalos onde S>0).
b) \{x: x<\tfrac{1}{\pi}\text{ ou }x>\pi\} — corresponde exatamente à condição S(x)>0. Esta alternativa não menciona a exclusão dos pontos que anulam o denominador interno ( x=0 e x=\tfrac{3\pi}{2}), porém é a alternativa que corresponde à solução principal obtida da condição S>0.
c) \{x:0<x\le\tfrac{1}{\pi}\text{ ou }x\ge\pi\} — errado (inclui igualdades em 1/\pi e \pi, onde S=0, e inclui valores entre 1/\pi e \pi incorretamente).
d) \{x:x>0\} — errado (muitos x>0 não satisfazem S>0).
Assim, entre as alternativas dadas, a que melhor corresponde à condição necessária S(x)>0 (e que normalmente é a resposta esperada nas alternativas) é a alternativa (b).

Resposta

(b) \{x\in\mathbb{R}: x<\tfrac{1}{\pi}\\ \text{ou}\\ x>\pi\}

Exercícios relacionados