(Q3-ITA/1997) O domínio D da função
é o conjunto
a)
b)
ou
c)
ou
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede determinar o domínio
(estão dadas quatro alternativas). Informações relevantes fornecidas:
- O numerador interno é
. - O denominador interno é
. - A função é a recíproca do quociente
.
O que o problema pede: identificar o conjunto depara os quais está bem definida.
Passo 2
Regras para domínio (aula rápida, passo a passo):
- Para existir
precisamos que o argumento seja não negativo. Se chamarmos
é necessário
.
2) O denominador interno não pode ser zero, pois aí a expressão
não estaria definida.
3) Além disso, a expressão inteira dentro do inverso não pode ser zero, porque exige que esse “algo” seja diferente de zero. A única forma de
é ter
(pois o denominador não pode ser zero por (2)). Assim precisamos também de
, isto é
.
Resumindo as condições combinadas que vamos usar:
2) O denominador interno
3) Além disso, a expressão inteira dentro do inverso não pode ser zero, porque
Resumindo as condições combinadas que vamos usar:
Passo 3
Analisar
.
Calcular o discriminante:
Calcular o discriminante:
As raízes são
Computando:
Como o coeficiente de
em
é
, a parábola abre para cima. Logo
para
(Esses são os intervalos onde a expressão dentro da raiz é estritamente positiva, excluindo as raízes onde
.)
Passo 4
Analisar o denominador interno
.
Fatorando:
Fatorando:
As raízes são
e
. Portanto devemos excluir esses dois valores (pois em tais pontos ocorre divisão por zero dentro da expressão).
Passo 5
Juntando as condições dos passos anteriores:
- Precisa ser
, isto é ou . - Além disso
e .
Observação:pertence ao intervalo e pertence ao intervalo . Portanto o domínio rigoroso é
Isto é, todos os
tais que
ou
, exceto
e
.
Passo 6
Comparar com as alternativas:
a) — errado (não coincide com os intervalos onde
).
b) — corresponde exatamente à condição
. Esta alternativa não menciona a exclusão dos pontos que anulam o denominador interno (
e
), porém é a alternativa que corresponde à solução principal obtida da condição
.
c) — errado (inclui igualdades em
e
, onde
, e inclui valores entre
e
incorretamente).
d) — errado (muitos
não satisfazem
).
Assim, entre as alternativas dadas, a que melhor corresponde à condição necessária (e que normalmente é a resposta esperada nas alternativas) é a alternativa (b).
a)
b)
c)
d)
Assim, entre as alternativas dadas, a que melhor corresponde à condição necessária
Resposta
(b)