1. (Q11-ITA/1997) Sejam \mathrm{f}, \mathrm{g}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} funções tais que: g(x)=1-x e f(x)+2 f(2-x)=(x-1)^{3} para todo x \in R. Então f[g(x)] é igual a :
    a) (x-1)^{3}
    b) (1-x)^{3}
    c) x^{3}
    d) x

Passo 1

O enunciado dá as duas relações (peguei-as do enunciado):
  • g(x)=1-x para todo x\in\mathbb{R}.
  • f(x)+2\,f(2-x)=(x-1)^{3} para todo x\in\mathbb{R}.
A pergunta do exercício é: qual é a função composta f[g(x)]=f( g(x) )? (As alternativas são: (a) (x-1)^{3}, (b) (1-x)^{3}, (c) x^{3}, (d) x.)

Passo 2

Vou trabalhar com a equação funcional dada para obter f explicitamente. Para isso, chamo
A:=f(x),\qquad B:=f(2-x).
A equação dada fica então
A + 2B = (x-1)^{3}. \tag{1}

Passo 3

Agora escrevo a mesma equação aplicada ao ponto 2-x (isto é, substituo x por 2-x na identidade original). Fazendo isso obtemos
f(2-x) + 2 f\big(2-(2-x)\big) = \big((2-x)-1\big)^{3}.
Note que 2-(2-x)=x, então a equação acima é
B + 2A = (1-x)^{3}. \tag{2}

Passo 4

Agora temos um sistema linear de duas equações em A\) e \(B\): \[\begin{cases} A + 2B = (x-1)^{3},\\[4pt] 2A + B = (1-x)^{3}. \end{cases}
Para simplificar, chamo R:=(x-1)^{3}\]. Observo que \((1-x)^{3} = -R (porque a função cúbica é ímpar). Assim o sistema é
\begin{cases} A + 2B = R,\\[4pt] 2A + B = -R. \end{cases}]

Passo 5

Vou resolver o sistema por eliminação. Multiplico a primeira equação por 2:
2A + 4B = 2R.
Subtraindo a segunda equação 2A + B = -R desta, obtenho
(2A+4B)-(2A+B)=2R-(-R)\quad\Rightarrow\quad 3B = 3R.
Logo
B=f(2-x)=R=(x-1)^{3}.

Passo 6

Substituo B=R na primeira equação A+2B=R:
A + 2R = R \quad\Rightarrow\quad A = -R.
Portanto
f(x)=A = -R = -(x-1)^{3} = (1-x)^{3}.

Passo 7

Temos agora uma expressão explícita para f: para todo t\in\mathbb{R},
f(t) = (1-t)^{3}.
(Usei a variável genérica t para deixar claro que a fórmula vale para qualquer argumento.)

Passo 8

Como g(x)=1-x, a composta f[g(x)] é
f[g(x)] = f(1-x).
Substituo na fórmula de f:
f(1-x) = \big(1-(1-x)\big)^{3} = x^{3}.

Resposta

c) x^{3}

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