(Q11-ITA/1997) Sejam \mathrm{f}, \mathrm{g}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} funções tais que: g(x)=1-x e f(x)+2 f(2-x)=(x-1)^{3} para todo x \in R. Então f[g(x)] é igual a :
a) (x-1)^{3}
b) (1-x)^{3}
c) x^{3}
d) x
Passo 1
O enunciado dá as duas relações (peguei-as do enunciado):
g(x)=1-x para todo x\in\mathbb{R}.
f(x)+2\,f(2-x)=(x-1)^{3} para todo x\in\mathbb{R}.
A pergunta do exercício é: qual é a função composta f[g(x)]=f( g(x) )? (As alternativas são: (a) (x-1)^{3}, (b) (1-x)^{3}, (c) x^{3}, (d) x.)
Passo 2
Vou trabalhar com a equação funcional dada para obter f explicitamente. Para isso, chamo
A:=f(x),\qquad B:=f(2-x).
A equação dada fica então
A + 2B = (x-1)^{3}. \tag{1}
Passo 3
Agora escrevo a mesma equação aplicada ao ponto 2-x (isto é, substituo x por 2-x na identidade original). Fazendo isso obtemos